Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs Unicode version

Theorem isacs 13398
 Description: A set is an algebraic closure system iff it is specified by some function of the finite subsets, such that a set is closed iff it does not expand under the operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs ACS Moore
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem isacs
StepHypRef Expression
1 elfvex 5408 . 2 ACS
2 elfvex 5408 . . 3 Moore
4 fveq2 5377 . . . . . 6 Moore Moore
5 pweq 3533 . . . . . . . . 9
65, 5feq23d 5243 . . . . . . . 8
75raleqdv 2694 . . . . . . . 8
86, 7anbi12d 694 . . . . . . 7
98exbidv 2005 . . . . . 6
104, 9rabeqbidv 2722 . . . . 5 Moore Moore
11 df-acs 13363 . . . . 5 ACS Moore
12 fvex 5391 . . . . . 6 Moore
1312rabex 4061 . . . . 5 Moore
1410, 11, 13fvmpt 5454 . . . 4 ACS Moore
1514eleq2d 2320 . . 3 ACS Moore
16 eleq2 2314 . . . . . . . 8
1716bibi1d 312 . . . . . . 7
1817ralbidv 2527 . . . . . 6
1918anbi2d 687 . . . . 5
2019exbidv 2005 . . . 4
2120elrab 2860 . . 3 Moore Moore
2215, 21syl6bb 254 . 2 ACS Moore
231, 3, 22pm5.21nii 344 1 ACS Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  crab 2512  cvv 2727   cin 3077   wss 3078  cpw 3530  cuni 3727  cima 4583  wf 4588  cfv 4592  cfn 6749  Moorecmre 13358  ACScacs 13360 This theorem is referenced by:  acsmre  13399  isacs2  13400  isacs1i  13403  mreacs  13404 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-acs 13363
 Copyright terms: Public domain W3C validator