Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval Unicode version

Theorem ipval 21106
 Description: Value of the inner product. The definition is meaningful for normed complex vector spaces that are also inner product spaces, i.e. satisfy the parallelogram law, although for convenience we define it for any normed complex vector space. The vector (group) addition operation is , the scalar product is , the norm is , and the set of vectors is . Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
ipval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ipval
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . . 5
2 dipfval.2 . . . . 5
3 dipfval.4 . . . . 5
4 dipfval.6 . . . . 5 CV
5 dipfval.7 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dipfval 21105 . . . 4
76oveqd 5727 . . 3
8 oveq1 5717 . . . . . . . . 9
98fveq2d 5381 . . . . . . . 8
109oveq1d 5725 . . . . . . 7
1110oveq2d 5726 . . . . . 6
1211sumeq2sdv 12054 . . . . 5
1312oveq1d 5725 . . . 4
14 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10
1514oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
1615fveq2d 5381 . . . . . . . 8
1716oveq1d 5725 . . . . . . 7
1817oveq2d 5726 . . . . . 6
1918sumeq2sdv 12054 . . . . 5
2019oveq1d 5725 . . . 4
21 eqid 2253 . . . 4
22 ovex 5735 . . . 4
2313, 20, 21, 22ovmpt2 5835 . . 3
247, 23sylan9eq 2305 . 2
25243impb 1152 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4592  (class class class)co 5710   cmpt2 5712  c1 8618  ci 8619   cmul 8622   cdiv 9303  c2 9675  c4 9677  cfz 10660  cexp 10982  csu 12035  cnv 20970  cpv 20971  cba 20972  cns 20973  CVcnmcv 20976  cdip 21103 This theorem is referenced by:  ipval2  21110  dipcl  21118  ipf  21119  sspival  21144 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-seq 10925  df-sum 12036  df-dip 21104
 Copyright terms: Public domain W3C validator