Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxp Unicode version

Theorem infxp 7725
 Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxp

Proof of Theorem infxp
StepHypRef Expression
1 sdomdom 6775 . . 3
2 infxpabs 7722 . . . . . 6
3 infunabs 7717 . . . . . . . . 9
433expa 1156 . . . . . . . 8
54adantrl 699 . . . . . . 7
6 ensym 6796 . . . . . . 7
75, 6syl 17 . . . . . 6
8 entr 6798 . . . . . 6
92, 7, 8syl2anc 645 . . . . 5
109expr 601 . . . 4
121, 11syl5 30 . 2
13 domtri2 7506 . . . 4
15 xpcomeng 6839 . . . . . . 7
1615ad2ant2r 730 . . . . . 6
1716adantr 453 . . . . 5
18 simplrl 739 . . . . . . 7
19 simplr 734 . . . . . . . 8
20 domtr 6799 . . . . . . . 8
2119, 20sylan 459 . . . . . . 7
22 infn0 7004 . . . . . . . . 9
2322ad2antlr 710 . . . . . . . 8
2423adantr 453 . . . . . . 7
25 simpr 449 . . . . . . 7
26 infxpabs 7722 . . . . . . 7
2718, 21, 24, 25, 26syl22anc 1188 . . . . . 6
28 uncom 3229 . . . . . . . 8
29 infunabs 7717 . . . . . . . . 9
3018, 21, 25, 29syl3anc 1187 . . . . . . . 8
3128, 30syl5eqbr 3953 . . . . . . 7
32 ensym 6796 . . . . . . 7
3331, 32syl 17 . . . . . 6
34 entr 6798 . . . . . 6
3527, 33, 34syl2anc 645 . . . . 5
36 entr 6798 . . . . 5
3717, 35, 36syl2anc 645 . . . 4
3837ex 425 . . 3
3914, 38sylbird 228 . 2
4012, 39pm2.61d 152 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wcel 1621   wne 2412   cun 3076  c0 3362   class class class wbr 3920  com 4547   cxp 4578   cdm 4580   cen 6746   cdom 6747   csdm 6748  ccrd 7452 This theorem is referenced by:  alephmul  8080  infxpg  24260 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678
 Copyright terms: Public domain W3C validator