MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpss Unicode version

Theorem infpss 7727
Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpss  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem infpss
StepHypRef Expression
1 infn0 7004 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )
2 n0 3371 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
31, 2sylib 190 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. y 
y  e.  A )
4 reldom 6755 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 4637 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 difexg 4058 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
9 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
10 disjsn 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  A )
11 disj4 3410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  ( A  \  { y } )  C.  A
)
1210, 11bitr3i 244 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( A  \  { y } )  C.  A )
1312con4bii 290 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  <->  ( A  \  { y } ) 
C.  A )
149, 13sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  ( A  \  { y } )  C.  A )
15 infdifsn 7241 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  \  { y } ) 
~~  A )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  ( A  \  { y } )  ~~  A )
1714, 16jca 520 . . . . 5  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( A  \  {
y } )  C.  A  /\  ( A  \  { y } ) 
~~  A ) )
18 psseq1 3184 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  C.  A 
<->  ( A  \  {
y } )  C.  A ) )
19 breq1 3923 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  ~~  A 
<->  ( A  \  {
y } )  ~~  A ) )
2018, 19anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( x 
C.  A  /\  x  ~~  A )  <->  ( ( A  \  { y } )  C.  A  /\  ( A  \  { y } )  ~~  A
) ) )
2120cla4egv 2806 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  _V  ->  ( ( ( A 
\  { y } )  C.  A  /\  ( A  \  { y } )  ~~  A
)  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
228, 17, 21sylc 58 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  y  e.  A )  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
2322ex 425 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( y  e.  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
2423exlimdv 1932 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  E. x ( x 
C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
253, 24mpd 16 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   _Vcvv 2727    \ cdif 3075    i^i cin 3077    C. wpss 3079   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920   omcom 4547    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  isfin4-2  7824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1o 6365  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator