Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpn2 Unicode version

Theorem infpn2 12834
 Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes is unbounded by infpn 12833, so by unben 12830 it is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpn2.1
Assertion
Ref Expression
infpn2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infpn2
StepHypRef Expression
1 infpn2.1 . . 3
2 ssrab2 3179 . . 3
31, 2eqsstri 3129 . 2
4 infpn 12833 . . . . 5
5 nnge1 9652 . . . . . . . . . . 11
65adantr 453 . . . . . . . . . 10
7 nnre 9633 . . . . . . . . . . 11
8 nnre 9633 . . . . . . . . . . 11
9 1re 8717 . . . . . . . . . . . 12
10 lelttr 8792 . . . . . . . . . . . 12
119, 10mp3an1 1269 . . . . . . . . . . 11
127, 8, 11syl2an 465 . . . . . . . . . 10
136, 12mpand 659 . . . . . . . . 9
1413ancld 538 . . . . . . . 8
1514anim1d 549 . . . . . . 7
16 anass 633 . . . . . . 7
1715, 16syl6ib 219 . . . . . 6
1817reximdva 2617 . . . . 5
194, 18mpd 16 . . . 4
20 breq2 3924 . . . . . . . . 9
21 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . 12
2221eleq1d 2319 . . . . . . . . . . 11
23 equequ2 1830 . . . . . . . . . . . 12
2423orbi2d 685 . . . . . . . . . . 11
2522, 24imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
2625ralbidv 2527 . . . . . . . . 9
2720, 26anbi12d 694 . . . . . . . 8
2827, 1elrab2 2862 . . . . . . 7
2928anbi1i 679 . . . . . 6
30 anass 633 . . . . . 6
31 ancom 439 . . . . . . 7
3231anbi2i 678 . . . . . 6
3329, 30, 323bitri 264 . . . . 5
3433rexbii2 2536 . . . 4
3519, 34sylibr 205 . . 3
3635rgen 2570 . 2
37 unben 12830 . 2
383, 36, 37mp2an 656 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510  crab 2512   wss 3078   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   cen 6746  cr 8616  c1 8618   clt 8747   cle 8748   cdiv 9303  cn 9626 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-seq 10925  df-fac 11167
 Copyright terms: Public domain W3C validator