Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Unicode version

Theorem infmap2 7728
 Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 8078 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem infmap2
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . 3
2 breq2 3924 . . . . 5
32anbi2d 687 . . . 4
43abbidv 2363 . . 3
51, 4breq12d 3933 . 2
6 simpl2 964 . . . . . . . . . 10
7 reldom 6755 . . . . . . . . . . 11
87brrelexi 4636 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9
107brrelex2i 4637 . . . . . . . . . 10
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9
12 xpcomeng 6839 . . . . . . . . 9
139, 11, 12syl2anc 645 . . . . . . . 8
14 simpl3 965 . . . . . . . . . 10
15 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
16 mapdom3 6918 . . . . . . . . . . 11
1711, 9, 15, 16syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10
18 numdom 7549 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18syl2anc 645 . . . . . . . . 9
20 simpl1 963 . . . . . . . . 9
21 infxpabs 7722 . . . . . . . . 9
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 1188 . . . . . . . 8
23 entr 6798 . . . . . . . 8
2413, 22, 23syl2anc 645 . . . . . . 7
25 ssenen 6920 . . . . . . 7
2624, 25syl 17 . . . . . 6
27 relen 6754 . . . . . . 7
2827brrelexi 4636 . . . . . 6
2926, 28syl 17 . . . . 5
30 abid2 2366 . . . . . 6
31 elmapi 6678 . . . . . . . 8
32 fssxp 5257 . . . . . . . . 9
33 ffun 5248 . . . . . . . . . . 11
34 vex 2730 . . . . . . . . . . . 12
3534fundmen 6819 . . . . . . . . . . 11
36 ensym 6796 . . . . . . . . . . 11
3733, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . 10
38 fdm 5250 . . . . . . . . . 10
3937, 38breqtrd 3944 . . . . . . . . 9
4032, 39jca 520 . . . . . . . 8
4131, 40syl 17 . . . . . . 7
4241ss2abi 3166 . . . . . 6
4330, 42eqsstr3i 3130 . . . . 5
44 ssdomg 6793 . . . . 5
4529, 43, 44ee10 1372 . . . 4
46 domentr 6805 . . . 4
4745, 26, 46syl2anc 645 . . 3
48 ovex 5735 . . . . . . 7
4948mptex 5598 . . . . . 6
5049rnex 4849 . . . . 5
51 ensym 6796 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 712 . . . . . . . . . . 11
53 bren 6757 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylib 190 . . . . . . . . . 10
55 f1of 5329 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 fss 5254 . . . . . . . . . . . . . . 15
5956, 57, 58syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14
60 elmapg 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6111, 9, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 62mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
64 f1ofo 5336 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 forn 5311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
6867eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . . 13
6963, 68jca 520 . . . . . . . . . . . 12
7069ex 425 . . . . . . . . . . 11
7170eximdv 2018 . . . . . . . . . 10
7254, 71mpd 16 . . . . . . . . 9
73 df-rex 2514 . . . . . . . . 9
7472, 73sylibr 205 . . . . . . . 8
7574ex 425 . . . . . . 7
7675ss2abdv 3167 . . . . . 6
77 eqid 2253 . . . . . . 7
7877rnmpt 4832 . . . . . 6
7976, 78syl6sseqr 3146 . . . . 5
80 ssdomg 6793 . . . . 5
8150, 79, 80mpsyl 61 . . . 4
82 vex 2730 . . . . . . . . 9
8382rnex 4849 . . . . . . . 8
8483rgenw 2572 . . . . . . 7
8577fnmpt 5227 . . . . . . 7
8684, 85mp1i 13 . . . . . 6
87 dffn4 5314 . . . . . 6
8886, 87sylib 190 . . . . 5
89 fodomnum 7568 . . . . 5
9014, 88, 89sylc 58 . . . 4
91 domtr 6799 . . . 4
9281, 90, 91syl2anc 645 . . 3
93 sbth 6866 . . 3
9447, 92, 93syl2anc 645 . 2
957brrelex2i 4637 . . . . 5
96953ad2ant1 981 . . . 4
97 map0e 6691 . . . 4
9896, 97syl 17 . . 3
99 1onn 6523 . . . . . 6
10099elexi 2736 . . . . 5
101100enref 6780 . . . 4
102 df-sn 3550 . . . . 5
103 df1o2 6377 . . . . 5
104 en0 6809 . . . . . . . 8
105104anbi2i 678 . . . . . . 7
106 0ss 3390 . . . . . . . . 9
107 sseq1 3120 . . . . . . . . 9
108106, 107mpbiri 226 . . . . . . . 8
109108pm4.71ri 617 . . . . . . 7
110105, 109bitr4i 245 . . . . . 6
111110abbii 2361 . . . . 5
112102, 103, 1113eqtr4ri 2284 . . . 4
113101, 112breqtrri 3945 . . 3
11498, 113syl6eqbr 3957 . 2
1155, 94, 114pm2.61ne 2487 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   wss 3078  c0 3362  csn 3544   class class class wbr 3920   cmpt 3974  com 4547   cxp 4578   cdm 4580   crn 4581   wfun 4586   wfn 4587  wf 4588  wfo 4590  wf1o 4591  (class class class)co 5710  c1o 6358   cmap 6658   cen 6746   cdom 6747  ccrd 7452 This theorem is referenced by:  infmap  8078 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459
 Copyright terms: Public domain W3C validator