Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infil Unicode version

Theorem infil 17390
 Description: The intersection of two filters is a filter. Use fiint 7018 to extend this property to the intersection of a finite set of filters. Paragraph 3 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 17-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
infil

Proof of Theorem infil
StepHypRef Expression
1 inss1 3296 . . . 4
2 filsspw 17378 . . . . 5
32adantr 453 . . . 4
41, 3syl5ss 3111 . . 3
5 0nelfil 17376 . . . . 5
65adantr 453 . . . 4
71sseli 3099 . . . 4
86, 7nsyl 115 . . 3
9 filtop 17382 . . . . 5
109adantr 453 . . . 4
11 filtop 17382 . . . . 5
1211adantl 454 . . . 4
13 elin 3266 . . . 4
1410, 12, 13sylanbrc 648 . . 3
154, 8, 143jca 1137 . 2
16 simpll 733 . . . . . . . 8
17 simpr2 967 . . . . . . . . 9
181sseli 3099 . . . . . . . . 9
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8
20 simpr1 966 . . . . . . . . 9
21 elpwi 3538 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8
23 simpr3 968 . . . . . . . 8
24 filss 17380 . . . . . . . 8
2516, 19, 22, 23, 24syl13anc 1189 . . . . . . 7
26 simplr 734 . . . . . . . 8
27 inss2 3297 . . . . . . . . . 10
2827sseli 3099 . . . . . . . . 9
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8
30 filss 17380 . . . . . . . 8
3126, 29, 22, 23, 30syl13anc 1189 . . . . . . 7
32 elin 3266 . . . . . . 7
3325, 31, 32sylanbrc 648 . . . . . 6
34333exp2 1174 . . . . 5
3534imp 420 . . . 4
3635rexlimdv 2628 . . 3
3736ralrimiva 2588 . 2
38 simpl 445 . . . . 5
391sseli 3099 . . . . . 6
4039, 18anim12i 551 . . . . 5
41 filin 17381 . . . . . 6
42413expb 1157 . . . . 5
4338, 40, 42syl2an 465 . . . 4
44 simpr 449 . . . . 5
4527sseli 3099 . . . . . 6
4645, 28anim12i 551 . . . . 5
47 filin 17381 . . . . . 6
48473expb 1157 . . . . 5
4944, 46, 48syl2an 465 . . . 4
50 elin 3266 . . . 4
5143, 49, 50sylanbrc 648 . . 3
5251ralrimivva 2597 . 2
53 isfil2 17383 . 2
5415, 37, 52, 53syl3anbrc 1141 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wa 360   w3a 939   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510   cin 3077   wss 3078  c0 3362  cpw 3530  cfv 4592  cfil 17372 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fv 4608  df-fbas 17352  df-fil 17373
 Copyright terms: Public domain W3C validator