Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf0 Unicode version

Theorem inf0 7206
 Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " " exists, is a subset of its union, and contains a given set (and thus is non-empty). Thus it provides an example demonstrating that a set exists with the necessary properties demanded by ax-inf 7223. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1
Assertion
Ref Expression
inf0
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem inf0
StepHypRef Expression
1 vex 2730 . . . 4
2 fr0g 6334 . . . 4
31, 2ax-mp 10 . . 3
4 frfnom 6333 . . . 4
5 peano1 4566 . . . 4
6 fnfvelrn 5514 . . . 4
74, 5, 6mp2an 656 . . 3
83, 7eqeltrri 2324 . 2
9 fvelrnb 5422 . . . . 5
104, 9ax-mp 10 . . . 4
11 fvex 5391 . . . . . . . . . 10
1211sucid 4364 . . . . . . . . 9
1311sucex 4493 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11
15 suceq 4350 . . . . . . . . . . 11
16 suceq 4350 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16frsucmpt2 6338 . . . . . . . . . 10
1813, 17mpan2 655 . . . . . . . . 9
1912, 18syl5eleqr 2340 . . . . . . . 8
20 eleq1 2313 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ib 212 . . . . . . 7
22 peano2b 4563 . . . . . . . . 9
23 fnfvelrn 5514 . . . . . . . . . 10
244, 23mpan 654 . . . . . . . . 9
2522, 24sylbi 189 . . . . . . . 8
2625a1i 12 . . . . . . 7
2721, 26jcad 521 . . . . . 6
28 fvex 5391 . . . . . . 7
29 eleq2 2314 . . . . . . . 8
30 eleq1 2313 . . . . . . . 8
3129, 30anbi12d 694 . . . . . . 7
3228, 31cla4ev 2812 . . . . . 6
3327, 32syl6com 33 . . . . 5
3433rexlimiv 2623 . . . 4
3510, 34sylbi 189 . . 3
3635ax-gen 1536 . 2
37 fndm 5200 . . . . . 6
384, 37ax-mp 10 . . . . 5
39 inf0.1 . . . . 5
4038, 39eqeltri 2323 . . . 4
41 fnfun 5198 . . . . 5
424, 41ax-mp 10 . . . 4
43 funrnex 5599 . . . 4
4440, 42, 43mp2 19 . . 3
45 eleq2 2314 . . . 4
46 eleq2 2314 . . . . . 6
47 eleq2 2314 . . . . . . . 8
4847anbi2d 687 . . . . . . 7
4948exbidv 2005 . . . . . 6
5046, 49imbi12d 313 . . . . 5
5150albidv 2004 . . . 4
5245, 51anbi12d 694 . . 3
5344, 52cla4ev 2812 . 2
548, 36, 53mp2an 656 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360  wal 1532  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510  cvv 2727  c0 3362   cmpt 3974   csuc 4287  com 4547   cdm 4580   crn 4581   cres 4582   wfun 4586   wfn 4587  cfv 4592  crdg 6308 This theorem is referenced by:  axinf  7229 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
 Copyright terms: Public domain W3C validator