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Theorem incexc 12292
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Distinct variable group:    A, s

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 7141 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
2 hashcl 11346 . . . 4  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  NN0 )
32nn0cnd 10016 . . 3  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  CC )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  e.  CC )
5 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 pwfi 7147 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  e.  Fin )
8 diffi 7085 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ( ~P A  \  { (/)
} )  e.  Fin )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  e. 
Fin )
10 ax-1cn 8791 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  1  e.  CC )
1211negcld 9140 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
13 eldifsni 3751 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  =/=  (/) )
1413adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  =/=  (/) )
15 eldifi 3299 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  e.  ~P A
)
16 elpwi 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  C_  A )
18 ssfi 7079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
195, 17, 18syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  e.  Fin )
20 hashnncl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2214, 21mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 s )  e.  NN )
23 nnm1nn0 10001 . . . . . 6  |-  ( (
# `  s )  e.  NN  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  e.  NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  -  1 )  e. 
NN0 )
2512, 24expcld 11241 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  e.  CC )
2617adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_  A )
27 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  A  C_ 
Fin )
2826, 27sstrd 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_ 
Fin )
29 unifi 7141 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  s  C_  Fin )  ->  U. s  e.  Fin )
3019, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  e.  Fin )
31 intssuni 3885 . . . . . . . 8  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
3214, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. s )
33 ssfi 7079 . . . . . . 7  |-  ( ( U. s  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. s
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  e.  Fin )
35 hashcl 11346 . . . . . 6  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3634, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3736nn0cnd 10016 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e.  CC )
3825, 37mulcld 8851 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
399, 38fsumcl 12202 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
40 disjdif 3527 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  (/)
4140a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( { (/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/)
} ) )  =  (/) )
42 0elpw 4179 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
43 snssi 3760 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ~P A  ->  { (/) } 
C_  ~P A )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { (/) } 
C_  ~P A
45 undif 3535 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  C_  ~P A  <->  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A )
4644, 45mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A
4746eqcomi 2288 . . . . 5  |-  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
4847a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) ) )
4910a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  1  e.  CC )
5049negcld 9140 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  -u 1  e.  CC )
515, 16, 18syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  s  e.  Fin )
52 hashcl 11346 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5351, 52syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5450, 53expcld 11241 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  e.  CC )
551adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  U. A  e.  Fin )
56 inss1 3390 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
57 ssfi 7079 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
5855, 56, 57sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  e.  Fin )
59 hashcl 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  i^i  |^| s )  e.  Fin  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) )  e.  NN0 )
6058, 59syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
6160nn0cnd 10016 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
6254, 61mulcld 8851 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  e.  CC )
6341, 48, 7, 62fsumsplit 12208 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
64 inidm 3379 . . . . . . 7  |-  ( U. A  i^i  U. A )  =  U. A
6564fveq2i 5489 . . . . . 6  |-  ( # `  ( U. A  i^i  U. A ) )  =  ( # `  U. A )
6665oveq2i 5831 . . . . 5  |-  ( (
# `  U. A )  -  ( # `  ( U. A  i^i  U. A
) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )
674subidd 9141 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )  =  0 )
6866, 67syl5eq 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  0 )
69 incexclem 12291 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  U. A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
701, 69syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
7168, 70eqtr3d 2318 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
0  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
724, 39negsubd 9159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) ) )
73 0ex 4151 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
7410a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
1  e.  CC )
7574, 4mulcld 8851 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  e.  CC )
76 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
77 hash0 11351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  (/) )  =  0
7876, 77syl6eq 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
7978oveq2d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
8010negcli 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
81 exp0 11104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
8280, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
8379, 82syl6eq 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
84 ssv 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. A  C_ 
_V
85 inteq 3866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (/)  ->  |^| s  =  |^| (/) )
86 int0 3877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| (/)  =  _V
8785, 86syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  (/)  ->  |^| s  =  _V )
8884, 87syl5sseqr 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  U. A  C_ 
|^| s )
89 df-ss 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  |^| s  <->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
U. A )
9088, 89sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
U. A )
9190fveq2d 5490 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  U. A ) )
9283, 91oveq12d 5838 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( 1  x.  ( # `
 U. A ) ) )
9392sumsn 12209 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  U. A ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
9473, 75, 93sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
954mulid2d 8849 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  =  ( # `  U. A ) )
9694, 95eqtr2d 2317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
979, 38fsumneg 12245 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
-u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
98 expm1t 11126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( # `  s
)  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
9912, 22, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
10025, 12mulcomd 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) ) ) )
10125mulm1d 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )
10299, 100, 1013eqtrd 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  = 
-u ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) ) )
10326unissd 3852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  C_ 
U. A )
10432, 103sstrd 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. A )
105 dfss1 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| s  C_  U. A  <->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
|^| s )
106104, 105sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  =  |^| s
)
107106fveq2d 5490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  |^| s ) )
108102, 107oveq12d 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
10925, 37mulneg1d 9228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  -u ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
110108, 109eqtr2d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) ) )
111110sumeq2dv 12172 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
11297, 111eqtr3d 2318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  -u
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
11396, 112oveq12d 5838 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
11472, 113eqtr3d 2318 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
11563, 71, 1143eqtr4rd 2327 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  0 )
1164, 39, 115subeq0d 9161 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   _Vcvv 2789    \ cdif 3150    u. cun 3151    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ~Pcpw 3626   {csn 3641   U.cuni 3828   |^|cint 3863   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Fincfn 6859   CCcc 8731   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    - cmin 9033   -ucneg 9034   NNcn 9742   NN0cn0 9961   ^cexp 11100   #chash 11333   sum_csu 12154
This theorem is referenced by:  incexc2  12293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-sum 12155
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