MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imai Unicode version

Theorem imai 4934
Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
imai  |-  (  _I  " A )  =  A

Proof of Theorem imai
StepHypRef Expression
1 dfima3 4922 . 2  |-  (  _I  " A )  =  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  _I  ) }
2 df-br 3921 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
3 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
43ideq 4743 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
52, 4bitr3i 244 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
65anbi2i 678 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  y ) )
7 ancom 439 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  y )  <->  ( x  =  y  /\  x  e.  A )
)
86, 7bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  )  <->  ( x  =  y  /\  x  e.  A ) )
98exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  E. x ( x  =  y  /\  x  e.  A ) )
10 eleq1 2313 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
113, 10ceqsexv 2761 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  e.  A )  <->  y  e.  A )
129, 11bitri 242 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  y  e.  A )
1312abbii 2361 . 2  |-  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  ) }  =  { y  |  y  e.  A }
14 abid2 2366 . 2  |-  { y  |  y  e.  A }  =  A
151, 13, 143eqtri 2277 1  |-  (  _I  " A )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   <.cop 3547   class class class wbr 3920    _I cid 4197   "cima 4583
This theorem is referenced by:  rnresi  4935  cnvresid  5179  ecidsn  6594  mbfid  18823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601
  Copyright terms: Public domain W3C validator