Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icodiamlt Unicode version

Theorem icodiamlt 26071
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 8757 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 elico2 10592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
3 elico2 10592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( D  e.  ( A [,) B )  <-> 
( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  <  B ) ) )
42, 3anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  <->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
54biimpd 200 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
61, 5sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
7 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  RR )
87recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  CC )
9 simpll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  RR )
109recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  CC )
118, 10negsubdi2d 9053 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  =  ( A  -  B ) )
129, 7resubcld 9091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
13 simprl1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  e.  RR )
1413, 7resubcld 9091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
15 simprr1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  e.  RR )
1613, 15resubcld 9091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
17 simprl2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  C
)
189, 13, 7, 17lesub1dd 9268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <_  ( C  -  B )
)
19 simprr3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  <  B
)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 9265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 8854 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2211, 21eqbrtrd 3940 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )
)
237, 15resubcld 9091 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  e.  RR )
247, 9resubcld 9091 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
25 simprl3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  <  B
)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 9264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  D )
)
27 simprr2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  D
)
289, 15, 7, 27lesub2dd 9269 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  <_  ( B  -  A )
)
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 8856 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  A )
)
3016, 24absltd 11789 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )  <->  (
-u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )  /\  ( C  -  D
)  <  ( B  -  A ) ) ) )
3122, 29, 30mpbir2and 893 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) )
3231ex 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) )  -> 
( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) ) )
336, 32syld 42 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )
) )
3433imp 420 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917   -ucneg 8918   [,)cico 10536   abscabs 11596
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  26074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598
  Copyright terms: Public domain W3C validator