HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Unicode version

Theorem hvsubid 21435
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 21416 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )
21oveq1d 5725 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
3 ax-1cn 8675 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 neg1cn 9693 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
5 ax-hvdistr2 21419 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A )  =  ( ( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) ) )
63, 4, 5mp3an12 1272 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  +  -u
1 )  .h  A
)  =  ( ( 1  .h  A )  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
7 hvsubval 21426 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  -h  A
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
87anidms 629 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
92, 6, 83eqtr4rd 2296 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A ) )
103negidi 8995 . . . 4  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1110oveq1i 5720 . . 3  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  .h  A )  =  ( 0  .h  A )
129, 11syl6eq 2301 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( 0  .h  A
) )
13 ax-hvmul0 21420 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
1412, 13eqtrd 2285 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620   -ucneg 8918   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331   0hc0v 21334    -h cmv 21335
This theorem is referenced by:  hvnegid  21436  hvsubeq0i  21472  hvaddsub4  21487  norm3difi  21556  5oalem1  22081  5oalem2  22082  5oalem3  22083  5oalem5  22085  3oalem2  22090  pjsslem  22106  ho0val  22160  lnop0  22376  0cnop  22389  pjclem4  22609  pj3si  22617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-hvmulid 21416  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919  df-neg 8920  df-hvsub 21381
  Copyright terms: Public domain W3C validator