Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Unicode version

Theorem hmopidmpji 22562
 Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 22561 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1
hmopidmch.2
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji

Proof of Theorem hmopidmpji
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6
2 hmoplin 22352 . . . . . 6
31, 2ax-mp 10 . . . . 5
43lnopfi 22379 . . . 4
5 ffn 5246 . . . 4
64, 5ax-mp 10 . . 3
7 hmopidmch.2 . . . . 5
81, 7hmopidmchi 22561 . . . 4
98pjfni 22128 . . 3
10 eqfnfv 5474 . . 3
116, 9, 10mp2an 656 . 2
12 fnfvelrn 5514 . . . . 5
136, 12mpan 654 . . . 4
14 id 21 . . . . . 6
154ffvelrni 5516 . . . . . 6
16 hvsubcl 21427 . . . . . 6
1714, 15, 16syl2anc 645 . . . . 5
18 simpl 445 . . . . . . . . 9
1915adantr 453 . . . . . . . . 9
204ffvelrni 5516 . . . . . . . . . 10
2120adantl 454 . . . . . . . . 9
22 his2sub 21501 . . . . . . . . 9
2318, 19, 21, 22syl3anc 1187 . . . . . . . 8
24 hmop 22332 . . . . . . . . . . . 12
251, 24mp3an1 1269 . . . . . . . . . . 11
2620, 25sylan2 462 . . . . . . . . . 10
277fveq1i 5378 . . . . . . . . . . . . 13
284, 4hocoi 22174 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28syl5reqr 2300 . . . . . . . . . . . 12
3029adantl 454 . . . . . . . . . . 11
3130oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10
3226, 31eqtr3d 2287 . . . . . . . . 9
3332oveq2d 5726 . . . . . . . 8
34 hicl 21489 . . . . . . . . . 10
3520, 34sylan2 462 . . . . . . . . 9
3635subidd 9025 . . . . . . . 8
3723, 33, 363eqtrd 2289 . . . . . . 7
3837ralrimiva 2588 . . . . . 6
39 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
4039eqeq1d 2261 . . . . . . . 8
4140ralrn 5520 . . . . . . 7
426, 41ax-mp 10 . . . . . 6
4338, 42sylibr 205 . . . . 5
448chssii 21641 . . . . . 6
45 ocel 21690 . . . . . 6
4644, 45ax-mp 10 . . . . 5
4717, 43, 46sylanbrc 648 . . . 4
488pjcompi 22099 . . . 4
4913, 47, 48syl2anc 645 . . 3
50 hvpncan3 21451 . . . . 5
5115, 14, 50syl2anc 645 . . . 4
5251fveq2d 5381 . . 3
5349, 52eqtr3d 2287 . 2
5411, 53mprgbir 2575 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509   wss 3078   crn 4581   ccom 4584   wfn 4587  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617   cmin 8917  chil 21329   cva 21330   csp 21332   cmv 21335  cort 21340   cpjh 21347  clo 21357  cho 21360 This theorem is referenced by:  hmopidmpj  22564 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-dc 7956  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-t1 16874  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-fcls 17468  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-blo 21154  df-0o 21155  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hlo 21295  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-pjh 21804  df-h0op 22158  df-nmop 22249  df-cnop 22250  df-lnop 22251  df-bdop 22252  df-unop 22253  df-hmop 22254
 Copyright terms: Public domain W3C validator