Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapvs Unicode version

Theorem hgmapvs 30773
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapvs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmapvs.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmapvs.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hgmapvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hgmapvs.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmapvs.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmapvs.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hgmapvs.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hgmapvs.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hgmapvs.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmapvs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hgmapvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hgmapvs.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hgmapvs  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs
StepHypRef Expression
1 hgmapvs.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 hgmapvs.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hgmapvs.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hgmapvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 hgmapvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
6 hgmapvs.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
7 hgmapvs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 hgmapvs.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hgmapvs.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
10 hgmapvs.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hgmapvs.g . . . . 5  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
12 hgmapvs.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hgmapvs.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hgmapval 30769 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  =  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
1514eqcomd 2258 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) )
162, 3, 6, 7, 11, 12, 13hgmapcl 30771 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  e.  B )
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13hdmap14lem15 30764 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
18 oveq1 5717 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
g  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  x )
) )
1918eqeq2d 2264 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2527 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2120riota2 6213 . . . 4  |-  ( ( ( G `  F
)  e.  B  /\  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2216, 17, 21syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2315, 22mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )
24 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F  .x.  x )  =  ( F  .x.  X
) )
2524fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( S `  ( F  .x.  X ) ) )
26 fveq2 5377 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  x )  =  ( S `  X ) )
2726oveq2d 5726 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  F
)  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
2825, 27eqeq12d 2267 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  X ) ) ) )
2928rcla4va 2819 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
301, 23, 29syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E!wreu 2511   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   Basecbs 13022  Scalarcsca 13085   .scvsca 13086   HLchlt 28229   LHypclh 28862   DVecHcdvh 29957  LCDualclcd 30465  HDMapchdma 30672  HGMapchg 30765
This theorem is referenced by:  hgmapval0  30774  hgmapval1  30775  hgmapadd  30776  hgmapmul  30777  hgmaprnlem1N  30778  hgmap11  30784  hdmapglnm2  30793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-ot 3554  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898  df-lfl 27937  df-lkr 27965  df-ldual 28003  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tgrp 29621  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908  df-dvech 29958  df-dib 30018  df-dic 30052  df-dih 30108  df-doch 30227  df-djh 30274  df-lcdual 30466  df-mapd 30504  df-hvmap 30636  df-hdmap1 30673  df-hdmap 30674  df-hgmap 30766
  Copyright terms: Public domain W3C validator