HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 21653
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
StepHypRef Expression
1 ssid 3118 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 21413 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 443 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 21422 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2571 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 21423 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2601 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 443 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 21618 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 891 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 21599 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 454 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1541 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 21633 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2509    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   -->wf 4588  (class class class)co 5710   CCcc 8615   NNcn 9626   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331   0hc0v 21334    ~~>v chli 21337   SHcsh 21338   CHcch 21339
This theorem is referenced by:  helsh  21654  pjhth  21802  ococ  21815  ococin  21817  pjoc1  21843  chj1i  21898  chincl  21908  chsscon3  21909  chjo  21924  chdmm1  21934  chjass  21942  hne0  21956  pjoml3  22039  osum  22072  spansnj  22074  spansncv  22080  pjch1  22097  pjo  22098  pjsslem  22106  pjcjt2  22119  pjch  22121  pjopyth  22147  pjnorm  22151  pjpyth  22152  pjnel  22153  ho0val  22160  dfiop2  22163  hoid1i  22199  hoid1ri  22200  pjtoi  22589  pjoci  22590  pjclem3  22607  hst0  22643  st0  22659  strlem3a  22662  hstrlem3a  22670  stcltr2i  22685  cvmd  22746  chrelat2  22780  cvexch  22784  mdsym  22822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hv0cl 21413  ax-hfvmul 21415
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-map 6660  df-n 9627  df-hlim 21382  df-sh 21616  df-ch 21631
  Copyright terms: Public domain W3C validator