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Theorem heibor1lem 26635
Description: Lemma for heibor1 26636. A compact metric space is complete. This proof works by considering the collection  cls ( F " ( ZZ>=
`  n ) ) for each  n  e.  NN, which has the finite intersection property because any finite intersection of upper integer sets is another upper integer set, so any finite intersection of the image closures will contain  ( F "
( ZZ>= `  m )
) for some  m. Thus, by compactness, the intersection contains a point  y, which must then be the convergent point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
heibor1.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
heibor1.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
heibor1.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
Assertion
Ref Expression
heibor1lem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)

Proof of Theorem heibor1lem
Dummy variables  n  y  k  r  u  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor1.4 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 heibor1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 17915 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
42, 3syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 heibor.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntop 18002 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
74, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 imassrn 5041 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" u )  C_  ran  F
9 heibor1.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 frn 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
125mopnuni 18003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
134, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1411, 13sseqtrd 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  U. J
)
158, 14syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  U. J )
16 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1716clscld 16800 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " u ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
187, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
19 eleq1a 2365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  k  e.  (
Clsd `  J )
) )
2018, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
k  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2120rexlimdvw 2683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
k  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2221abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ph  ->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } 
C_  ( Clsd `  J
) )
23 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
2423elpw2 4191 . . . 4  |-  ( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  <->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  ( Clsd `  J ) )
2522, 24sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J ) )
26 elin 3371 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ( ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin )  <->  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  /\  r  e.  Fin ) )
27 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  r  e. 
_V
2827elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <-> 
r  C_  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )
29 ssabral 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( r 
C_  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
3028, 29bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
3130anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  /\  r  e.  Fin ) 
<->  ( A. k  e.  r  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)
3226, 31bitri 240 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin )  <->  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)
33 raleq 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  (/)  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
3433anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
35 inteq 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  (/)  ->  |^| m  =  |^| (/) )
3635sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| (/) ) )
3736rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  (/)  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/) ) )
3834, 37imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/) ) ) )
39 raleq 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  y  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
41 inteq 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  y  ->  |^| m  =  |^| y )
4241sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  y  ->  (
( F " k
)  C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| y
) )
4342rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y
) )
4440, 43imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  y  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) ) )
45 raleq 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
4645anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( ph  /\ 
A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  <->  ( ph  /\ 
A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
47 inteq 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  |^| m  =  |^| ( y  u.  {
n } ) )
4847sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( F
" k )  C_  |^| m  <->  ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
4948rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
5046, 49imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( (
ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) ) )
51 raleq 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  r  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
5251anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  r  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
53 inteq 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  r  ->  |^| m  =  |^| r )
5453sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  r  ->  (
( F " k
)  C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| r
) )
5554rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  r  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r
) )
5652, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  r  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) ) )
57 uzf 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
58 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ>=  Fn  ZZ
60 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
61 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  0 )  e. 
ran  ZZ>= )
6259, 60, 61mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  e.  ran  ZZ>=
63 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F
" ( ZZ>= `  0
) )  C_  _V
64 int0 3892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  |^| (/)  =  _V
6563, 64sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( ZZ>= `  0
) )  C_  |^| (/)
66 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( F " k )  =  ( F " ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
6766sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( F " k )  C_  |^| (/) 
<->  ( F " ( ZZ>=
`  0 ) ) 
C_  |^| (/) ) )
6867rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  0 )  e.  ran  ZZ>=  /\  ( F " ( ZZ>= `  0 )
)  C_  |^| (/) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| (/) )
6962, 65, 68mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/)
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| (/) )
71 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  ( y  u.  {
n } )
72 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
7473anim2i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  ( ph  /\ 
A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7574imim1i 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) )
76 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n }  C_  ( y  u. 
{ n } )
77 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n }  C_  (
y  u.  { n } )  ->  ( A. k  e.  (
y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
79 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  n  e. 
_V
80 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
k  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  <->  n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
8180rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
8279, 81ralsn 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
8378, 82sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
84 uzin2 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  ran  ZZ>=  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( u  i^i  k
)  e.  ran  ZZ>= )
858, 11syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  X )
8685, 13sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  U. J )
8716sscls 16809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " u ) 
C_  U. J )  -> 
( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
887, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
89 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( ( F
" u )  C_  n 
<->  ( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
9088, 89syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( F " u
)  C_  n )
)
91 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
92 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  i^i  k )  C_  u
93 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  k  ->  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " k ) )
94 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  u  ->  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " u ) )
9593, 94anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  C_  k  /\  ( u  i^i  k
)  C_  u )  ->  ( ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  ( F "
u ) ) )
96 ssin 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " u ) )  <->  ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  (
( F " k
)  i^i  ( F " u ) ) )
9795, 96sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  C_  k  /\  ( u  i^i  k
)  C_  u )  ->  ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( ( F " k )  i^i  ( F " u
) ) )
9891, 92, 97mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F
" ( u  i^i  k ) )  C_  ( ( F "
k )  i^i  ( F " u ) )
99 ss2in 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( ( F "
k )  i^i  ( F " u ) ) 
C_  ( |^| y  i^i  n ) )
10098, 99syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( |^| y  i^i  n ) )
10179intunsn 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  |^| (
y  u.  { n } )  =  (
|^| y  i^i  n
)
102100, 101syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) )
103102expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F " u ) 
C_  n  ->  (
( F " k
)  C_  |^| y  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) )
10490, 103syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( ( F "
k )  C_  |^| y  ->  ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) ) )
105104imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) )
106 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  ( u  i^i  k )  ->  ( F " m )  =  ( F " (
u  i^i  k )
) )
107106sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  ( u  i^i  k )  ->  (
( F " m
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
)  <->  ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
108107rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  e.  ran  ZZ>=  /\  ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F "
m )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) )
109108expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( u  i^i  k )  e. 
ran  ZZ>=  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
110105, 109syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ran  ZZ>=  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
111110com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( u  i^i  k )  e.  ran  ZZ>=  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
11284, 111syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  ZZ>=  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  ->  (
( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
113112rexlimdvv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= E. k  e.  ran  ZZ>= ( n  =  (
( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
114 reeanv 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  ran  ZZ>= E. k  e.  ran  ZZ>= ( n  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  <->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) )
115 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  ( F " m )  =  ( F " k
) )
116115sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  k  ->  (
( F " m
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
)  <->  ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
117116cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } )  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) )
118113, 114, 1173imtr3g 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
119118exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( E. k  e. 
ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
12083, 119syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
121120imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F
" k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
12275, 121sylcom 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
12438, 44, 50, 56, 70, 123findcard2 7114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) )
125124com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  ( r  e. 
Fin  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) )
126125impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r
)
127 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
1289, 127syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
129 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  i^i  NN )  C_  k
130 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  i^i  NN ) 
C_  k  ->  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  C_  ( F " k ) )
131129, 130ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( k  i^i 
NN ) )  C_  ( F " k )
132 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
133 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
134 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  1 )  e. 
ran  ZZ>= )
13559, 133, 134mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  e.  ran  ZZ>=
136132, 135eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  ran  ZZ>=
137 uzin2 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ran  ZZ>=  /\  NN  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>= )
138136, 137mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>= )
139 uzn0 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  =/=  (/) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  =/=  (/) )
141 n0 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  i^i  NN )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( k  i^i  NN ) )
142140, 141sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  E. y 
y  e.  ( k  i^i  NN ) )
143 fnfun 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  NN  ->  Fun  F )
144 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  i^i  NN )  C_  NN
145 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  NN  ->  dom  F  =  NN )
146144, 145syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
k  i^i  NN )  C_ 
dom  F )
147 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  (
k  i^i  NN )  C_ 
dom  F )  -> 
( y  e.  ( k  i^i  NN )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( k  i^i  NN ) ) ) )
148143, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( k  i^i  NN )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( k  i^i 
NN ) ) ) )
149 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  e.  ( F "
( k  i^i  NN ) )  ->  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  =/=  (/) )
150148, 149syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( k  i^i  NN )  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) ) )
151150exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( E. y  y  e.  ( k  i^i  NN )  ->  ( F "
( k  i^i  NN ) )  =/=  (/) ) )
152142, 151syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
k  e.  ran  ZZ>=  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) ) )
153152imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) )
154 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " (
k  i^i  NN )
)  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  =/=  (/) )  ->  ( F
" k )  =/=  (/) )
155131, 153, 154sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( F " k
)  =/=  (/) )
156 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| r  /\  ( F " k )  =/=  (/) )  ->  |^| r  =/=  (/) )
157156expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " k )  =/=  (/)  ->  ( ( F " k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
158155, 157syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( ( F "
k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
159158rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
160128, 159syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
161160adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F
" k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
162126, 161mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  |^| r  =/=  (/) )
163162necomd 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  (/)  =/=  |^| r )
164163neneqd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  -.  (/)  =  |^| r )
16532, 164sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) )  ->  -.  (/)  =  |^| r )
166165nrexdv 2659 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r )
167 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
168 zex 10049 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
169168pwex 4209 . . . . . . 7  |-  ~P ZZ  e.  _V
170 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ran  ZZ>=  C_  ~P ZZ )
17157, 170ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  ZZ>=  C_  ~P ZZ
172169, 171ssexi 4175 . . . . . 6  |-  ran  ZZ>=  e. 
_V
173172abrexex 5779 . . . . 5  |-  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  _V
174 elfi 7183 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  _V )  -> 
( (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )  <->  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r ) )
175167, 173, 174mp2an 653 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( fi `  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  <->  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r
)
176166, 175sylnibr 296 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } ) )
177 cmptop 17138 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
178 cmpfi 17151 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) ) )
179177, 178syl 15 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J )
( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) ) )
180179ibi 232 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  ->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) )
181 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( fi `  m )  =  ( fi `  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) )
182181eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  m )  <->  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
183182notbid 285 . . . . . 6  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  m )  <->  -.  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
184 inteq 3881 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  |^| m  =  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )
185184neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( |^| m  =/=  (/)  <->  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  =/=  (/) ) )
186 n0 3477 . . . . . . 7  |-  ( |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e. 
|^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
187185, 186syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( |^| m  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) )
188183, 187imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  (
( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
189188rspccv 2894 . . . 4  |-  ( A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J ) ( -.  (/)  e.  ( fi
`  m )  ->  |^| m  =/=  (/) )  -> 
( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
190180, 189syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
1911, 25, 176, 190syl3c 57 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e. 
|^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
192 lmrel 16976 . . . . 5  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
193 r19.23v 2672 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  y  e.  k )  <->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
194193albii 1556 . . . . . . 7  |-  ( A. k A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. k ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
195 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  e. 
_V
196 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( y  e.  k  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
197195, 196ceqsalv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <-> 
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) ) )
198197ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= A. k
( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
199 ralcom4 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= A. k
( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. k A. u  e. 
ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
200198, 199bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
201 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
202201elintab 3889 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k
( E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
203194, 200, 2023bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
204 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )
205 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  NN  ->  ( F " u )  =  ( F " NN ) )
206205fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  NN  ->  (
( cls `  J
) `  ( F " u ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )
207206eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  NN  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) ) ) )
208207rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  e.  ran  ZZ>=  /\  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
209136, 204, 208mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )
210 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  e.  _V
211 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  ->  ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) ) ) )
212211rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
213210, 212elab 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  e. 
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
214209, 213mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  e.  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }
215 intss1 3893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  e. 
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  ->  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  (
( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )
216214, 215ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )
217 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" NN )  C_  ran  F
218217, 14syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F " NN )  C_  U. J )
21916clsss3 16812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " NN ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  U. J )
2207, 218, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  U. J )
221220, 13sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  X )
222216, 221syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  X
)
223222sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  y  e.  X )
224203, 223sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  y  e.  X
)
225 heibor1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
226133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
227132, 4, 226iscau3 18720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) ) ) )
228225, 227mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) ) )
229228simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) )
230 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
231230ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
232231reximi 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
233232ralimi 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
234229, 233syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
235234adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
236 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
237 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
) ) )
2382372ralbidv 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
) ) )
239238rexbidv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  <->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 ) ) )
240239rspccva 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 ) )
241235, 236, 240syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 ) )
242 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
2439, 242syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  F )
244243ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  Fun  F )
2457ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  J  e.  Top )
246 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( ZZ>= `  m
) )  C_  ran  F
247246, 14syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) 
C_  U. J )
248247ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F " ( ZZ>= `  m
) )  C_  U. J
)
249 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
250 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
25159, 249, 250sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
252251ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
253 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
254 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( F " u )  =  ( F " ( ZZ>= `  m ) ) )
255254fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
( ZZ>= `  m )
) ) )
256255eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) ) )
257256rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ZZ>= `  m )  e. 
ran  ZZ>=  ->  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
( ZZ>= `  m )
) ) ) )
258252, 253, 257sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) )
2594ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
260224adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  X )
261236ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
262261rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
2635blopn 18062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
264259, 260, 262, 263syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  e.  J )
265 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
266259, 260, 261, 265syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
26716clsndisj 16828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) 
C_  U. J  /\  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) )  /\  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  e.  J  /\  y  e.  (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  =/=  (/) )
268245, 248, 258, 264, 266, 267syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/) )
269 n0 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  ( (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) ) )
270 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  C_  ( F " ( ZZ>= `  m )
)
271270sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  n  e.  ( F " ( ZZ>= `  m ) ) )
272 fvelima 5590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  =  n )
273271, 272sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( F `  k )  =  n )
274 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
( r  /  2
) )
275274sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  n  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
276275adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  n  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
277 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  ->  (
( F `  k
)  =  n  -> 
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
278276, 277syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  n  ->  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
279278reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  =  n  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
280273, 279mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
281280ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  ( n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
282281exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( E. n  n  e.  (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
283269, 282syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
284244, 268, 283sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
285 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
286 uznnssnn 10282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  m )  C_  NN )
287286ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  NN )
288 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
2894ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
290 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  RR+ )
291290, 236syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
292291rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
293 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  y  e.  X )
2949ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  F : NN --> X )
295132uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
296295ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
297296ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  k  e.  NN )
298 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
299294, 297, 298syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
300 elbl3 17967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  k ) D y )  <  ( r  /  2 ) ) )
301289, 292, 293, 299, 300syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( r  /  2
) ) )
302288, 301mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  ( r  / 
2 ) )
3032ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
304 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
305132uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
306297, 304, 305syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  n  e.  NN )
307 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F : NN --> X  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  X )
308294, 306, 307syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  n )  e.  X )
309 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
310303, 299, 308, 309syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
311 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D y )  e.  RR )
312303, 299, 293, 311syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  e.  RR )
313291rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
314 lt2add 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  ( ( F `  k ) D y )  e.  RR )  /\  ( ( r  /  2 )  e.  RR  /\  ( r  /  2 )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  /\  ( ( F `  k ) D y )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  /  2
) ) ) )
315310, 312, 313, 313, 314syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  <  (
r  /  2 )  /\  ( ( F `
 k ) D y )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
( ( r  / 
2 )  +  ( r  /  2 ) ) ) )
316302, 315mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  / 
2 ) ) ) )
317290rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  CC )
3183172halvesd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( r  /  2
)  +  ( r  /  2 ) )  =  r )
319318breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  / 
2 ) )  <->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
r ) )
320316, 319sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  r ) )
321 mettri2 17922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  n ) D y )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) ) )
322303, 299, 308, 293, 321syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  n
) D y )  <_  ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) ) )
323 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  n
) D y )  e.  RR )
324303, 308, 293, 323syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  n
) D y )  e.  RR )
325310, 312readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  e.  RR )
326290rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  RR )
327 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F `  n ) D y )  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  n ) D y )  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  /\  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
r )  ->  (
( F `  n
) D y )  <  r ) )
328324, 325, 326, 327syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 n ) D y )  <_  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  /\  ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  <  r
)  ->  ( ( F `  n ) D y )  < 
r ) )
329322, 328mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  r  -> 
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
330320, 329syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
331330anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  ->  (
( F `  n
) D y )  <  r ) )
332331ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
333332expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r ) ) )
334333com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r ) ) )
335334imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
336335reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  n ) D y )  < 
r ) )
337 ssrexv 3251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  NN  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r  ->  E. k  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
338287, 336, 337