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Theorem heibor 25711
Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 25700 and heiborlem1 25701 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21heibor1 25700 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
3 cmetmet 18544 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 17731 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
61mopntop 17818 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
73, 5, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  J  e.  Top )
87adantr 453 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Top )
9 istotbnd 25659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
109simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
11 2nn 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
12 nnexpcl 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1311, 12mpan 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1413nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
1514rpreccld 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
1716eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) r )  <->  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1817rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralbidv 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2019anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) )  <->  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2120rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) r ) )  <->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
2221rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r ) )  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
2310, 15, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( TotBnd `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2423expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2524adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2726eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2827ac6sfi 6986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )
2928adantrl 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3029adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31 simp3l 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  m : u --> X )
32 frn 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m : u --> X  ->  ran  m  C_  X )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  X
)
341mopnuni 17819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
353, 5, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  U. J )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  =  U. J )
37363ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3833, 37sseqtrd 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  U. J
)
39 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
401, 39eqeltri 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e. 
_V
4140uniex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  e.  _V
4241elpw2 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  m  e.  ~P U. J 
<->  ran  m  C_  U. J
)
4338, 42sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ~P U. J )
44 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  u  e.  Fin )
45 ffn 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m : u --> X  ->  m  Fn  u )
46 dffn4 5314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  Fn  u  <->  m :
u -onto-> ran  m )
4745, 46sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  m : u -onto-> ran  m
)
48 fofi 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u -onto-> ran  m
)  ->  ran  m  e. 
Fin )
4947, 48sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u --> X )  ->  ran  m  e.  Fin )
5044, 31, 49syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  Fin )
51 elin 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  m  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) 
<->  ( ran  m  e. 
~P U. J  /\  ran  m  e.  Fin )
)
5243, 50, 51sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
5326eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
r  e.  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
5453rexrn 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  Fn  u  ->  ( E. y  e.  ran  m  r  e.  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
55 eliun 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. y  e.  ran  m  r  e.  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
56 eliun 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5754, 55, 563bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  ->  (
r  e.  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
5857eqrdv 2251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  Fn  u  ->  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  = 
U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5931, 45, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
60 simp3r 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  u  v  =  ( (
m `  v )
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )
61 uniiun 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. u  =  U_ v  e.  u  v
62 iuneq2 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U_ v  e.  u  v  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6361, 62syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
65 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  X )
6659, 64, 653eqtr2rd 2292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
67 iuneq1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ran  m  ->  U_ y  e.  t 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6867eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ran  m  -> 
( X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ran  m
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6968rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  X  = 
U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
7052, 66, 69syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
71703expia 1158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X ) )  -> 
( ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7271adantrrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7372exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7430, 73mpd 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7574expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  u  e.  Fin )  ->  ( ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7675rexlimdva 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7725, 76syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
7877ralrimdva 2595 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7941pwex 4087 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. J  e.  _V
8079inex1 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  e.  _V
81 nn0ennn 10919 . . . . . . . . 9  |-  NN0  ~~  NN
82 nnenom 10920 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
8381, 82entri 6800 . . . . . . . 8  |-  NN0  ~~  om
84 iuneq1 3816 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  U_ y  e.  t  ( y
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
8584eqeq2d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  ( X  =  U_ y  e.  t  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8680, 83, 85axcc4 7949 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8778, 86syl6 31 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
88 elpwi 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P J  -> 
r  C_  J )
89 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v }  =  {
u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) u 
C_  U. v }
90 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }  =  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }
91 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) )  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
92 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
9335pweqd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
9493ineq1d 3277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
95 feq3 5234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin )  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  <->  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) ) )
9796biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
9897adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  m : NN0
--> ( ~P X  i^i  Fin ) )
99 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
10099cbviunv 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
101 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  ->  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
102 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  C_  ~P U. J
103102, 93syl5sseqr 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
104 fss 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_  ~P X )  ->  m : NN0 --> ~P X )
105101, 103, 104syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ~P X )
106 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m : NN0 --> ~P X  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( m `  n )  e.  ~P X )
107105, 106sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  e.  ~P X )
108 elpwi 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m `  n )  e.  ~P X  -> 
( m `  n
)  C_  X )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  C_  X )
110109sselda 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
y  e.  X )
111 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
112 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
113 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  n  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ n ) )
114113oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
115114oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
116 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
117112, 115, 91, 116ovmpt2 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  X  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
118110, 111, 117syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
119118iuneq2dv 3824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
120100, 119syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
121120eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
122121biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
123122ralimdva 2583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n ) ) )
124123impr 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
125 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
m `  n )  =  ( m `  k ) )
126125iuneq1d 3826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
127 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  ->  n  =  k )
128127oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  -> 
( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
129128iuneq2dv 3824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
130126, 129eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
131130eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ t  e.  ( m `
 k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
132131cbvralv 2708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN0  X  = 
U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  <->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) k ) )
133124, 132sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
1341, 89, 90, 91, 92, 98, 133heiborlem10 25710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  /\  ( r 
C_  J  /\  U. J  =  U. r
) )  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v )
135134exp32 591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  C_  J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13688, 135syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  e.  ~P J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
137136ralrimiv 2587 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
138137ex 425 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
139138exlimdv 1932 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
14087, 139syld 42 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
141140imp 420 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
142 eqid 2253 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
143142iscmp 16947 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
1448, 141, 143sylanbrc 648 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Comp )
1454, 144jca 520 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  J  e.  Comp ) )
1462, 145impbii 182 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    i^i cin 3077    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   U.cuni 3727   U_ciun 3803   {copab 3973   omcom 4547   ran crn 4581    Fn wfn 4587   -->wf 4588   -onto->wfo 4590   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    e. cmpt2 5712   Fincfn 6749   1c1 8618    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   NN0cn0 9844   RR+crp 10233   ^cexp 10982   * Metcxmt 16201   Metcme 16202   ballcbl 16203   MetOpencmopn 16204   Topctop 16463   Compccmp 16945   CMetcms 18512   TotBndctotbnd 25656
This theorem is referenced by:  rrnheibor  25727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lm 16791  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-totbnd 25658
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