Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Unicode version

Theorem harmonic 12191
 Description: The harmonic series diverges. This fact follows from the stronger emcl 20128, which establishes that the harmonic series grows as o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1
harmonic.2
Assertion
Ref Expression
harmonic

Proof of Theorem harmonic
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10141 . . . 4
2 0z 9914 . . . . 5
32a1i 12 . . . 4
4 1ex 8713 . . . . . 6
54fvconst2 5581 . . . . 5
65adantl 454 . . . 4
7 1re 8717 . . . . 5
87a1i 12 . . . 4
9 harmonic.2 . . . . . . 7
109eleq1i 2316 . . . . . 6
1110biimpi 188 . . . . 5
12 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
13 harmonic.1 . . . . . . . . 9
14 ovex 5735 . . . . . . . . 9
1512, 13, 14fvmpt 5454 . . . . . . . 8
16 nnrecre 9662 . . . . . . . 8
1715, 16eqeltrd 2327 . . . . . . 7
1817adantl 454 . . . . . 6
19 nnrp 10242 . . . . . . . . . 10
2019rpreccld 10279 . . . . . . . . 9
2120rpge0d 10273 . . . . . . . 8
2221, 15breqtrrd 3946 . . . . . . 7
2322adantl 454 . . . . . 6
24 nnre 9633 . . . . . . . . . 10
2524lep1d 9568 . . . . . . . . 9
26 nngt0 9655 . . . . . . . . . 10
27 peano2re 8865 . . . . . . . . . . 11
2824, 27syl 17 . . . . . . . . . 10
29 peano2nn 9638 . . . . . . . . . . 11
3029nngt0d 9669 . . . . . . . . . 10
31 lerec 9518 . . . . . . . . . 10
3224, 26, 28, 30, 31syl22anc 1188 . . . . . . . . 9
3325, 32mpbid 203 . . . . . . . 8
34 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10
35 ovex 5735 . . . . . . . . . 10
3634, 13, 35fvmpt 5454 . . . . . . . . 9
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8
3833, 37, 153brtr4d 3950 . . . . . . 7
3938adantl 454 . . . . . 6
40 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
4140fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
4240, 41oveq12d 5728 . . . . . . . 8
43 fconstmpt 4639 . . . . . . . . 9
44 2nn 9756 . . . . . . . . . . . . . 14
45 nnexpcl 10994 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45mpan 654 . . . . . . . . . . . . 13
47 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14
48 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 13, 48fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . 13
5046, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
52 nncn 9634 . . . . . . . . . . . . 13
53 nnne0 9658 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53recidd 9411 . . . . . . . . . . . 12
5546, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11
5651, 55eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10
5756mpteq2ia 3999 . . . . . . . . 9
5843, 57eqtr4i 2276 . . . . . . . 8
59 ovex 5735 . . . . . . . 8
6042, 58, 59fvmpt 5454 . . . . . . 7
6160adantl 454 . . . . . 6
6218, 23, 39, 61climcnds 12184 . . . . 5
6311, 62mpbid 203 . . . 4
641, 3, 6, 8, 63isumrecl 12105 . . 3
65 arch 9841 . . 3
6664, 65syl 17 . 2
67 fzfid 10913 . . . . . . 7
68 ax-1cn 8675 . . . . . . 7
69 fsumconst 12129 . . . . . . 7
7067, 68, 69sylancl 646 . . . . . 6
71 nnnn0 9851 . . . . . . . . 9
7271adantl 454 . . . . . . . 8
73 hashfz1 11223 . . . . . . . 8
7472, 73syl 17 . . . . . . 7
7574oveq1d 5725 . . . . . 6
76 nncn 9634 . . . . . . . 8
7776adantl 454 . . . . . . 7
7877mulid1d 8732 . . . . . 6
7970, 75, 783eqtrd 2289 . . . . 5
802a1i 12 . . . . . 6
81 elfznn 10697 . . . . . . . . 9
82 nnnn0 9851 . . . . . . . . 9
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8
8483ssriv 3105 . . . . . . 7
8584a1i 12 . . . . . 6
865adantl 454 . . . . . 6
877a1i 12 . . . . . 6
88 0le1 9177 . . . . . . 7
8988a1i 12 . . . . . 6
9063adantr 453 . . . . . 6
911, 80, 67, 85, 86, 87, 89, 90isumless 12178 . . . . 5
9279, 91eqbrtrrd 3942 . . . 4
93 nnre 9633 . . . . 5
94 lenlt 8781 . . . . 5
9593, 64, 94syl2anr 466 . . . 4
9692, 95mpbid 203 . . 3
9796nrexdv 2608 . 2
9866, 97pm2.65i 167 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510   wss 3078  csn 3544   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cxp 4578   cdm 4580  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  cn0 9844  cz 9903  cfz 10660   cseq 10924  cexp 10982  chash 11215   cli 11835  csu 12035 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036
 Copyright terms: Public domain W3C validator