Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Unicode version

Theorem halfnq 8480
 Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 8465 . . . 4
2 distrnq 8465 . . . . . . . 8
3 1nq 8432 . . . . . . . . . . 11
4 addclnq 8449 . . . . . . . . . . 11
53, 3, 4mp2an 656 . . . . . . . . . 10
6 recidnq 8469 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 10 . . . . . . . . 9
87, 7oveq12i 5722 . . . . . . . 8
92, 8eqtri 2273 . . . . . . 7
109oveq1i 5720 . . . . . 6
117oveq2i 5721 . . . . . . 7
12 mulassnq 8463 . . . . . . . 8
13 mulcomnq 8457 . . . . . . . . 9
1413oveq1i 5720 . . . . . . . 8
1512, 14eqtr3i 2275 . . . . . . 7
16 recclnq 8470 . . . . . . . . 9
17 addclnq 8449 . . . . . . . . 9
1816, 16, 17syl2anc 645 . . . . . . . 8
19 mulidnq 8467 . . . . . . . 8
205, 18, 19mp2b 11 . . . . . . 7
2111, 15, 203eqtr3i 2281 . . . . . 6
2210, 21, 73eqtr3i 2281 . . . . 5
2322oveq2i 5721 . . . 4
241, 23eqtr3i 2275 . . 3
25 mulidnq 8467 . . 3
2624, 25syl5eq 2297 . 2
27 ovex 5735 . . 3
28 oveq12 5719 . . . . 5
2928anidms 629 . . . 4
3029eqeq1d 2261 . . 3
3127, 30cla4ev 2812 . 2
3226, 31syl 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4592  (class class class)co 5710  cnq 8354  c1q 8355   cplq 8357   cmq 8358  crq 8359 This theorem is referenced by:  nsmallnq  8481 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421
 Copyright terms: Public domain W3C validator