MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Unicode version

Theorem gt0ne0 9119
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 8718 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 8797 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920   RRcr 8616   0cc0 8617    < clt 8747
This theorem is referenced by:  recgt0  9480  lemul1  9488  lediv1  9501  gt0div  9502  ge0div  9503  ltdivmul  9508  ledivmul  9509  ledivmulOLD  9510  lt2mul2div  9512  lemuldiv  9515  ltdiv2  9521  ltrec1  9523  lerec2  9524  ledivdiv  9525  lediv2  9526  ltdiv23  9527  lediv23  9528  lediv12a  9529  recreclt  9535  nnrecl  9842  elnnz  9913  recnz  9966  rpne0  10248  resqrex  11613  sqrgt0  11621  argregt0  19796  argimgt0  19798  logneg2  19801  logcnlem3  19823  atanlogsublem  20043  leopmul  22544  cdj1i  22843  lediv2aALT  23184  divelunit  23250  mulge0b  23256  nndivlub  24071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator