Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Unicode version

Theorem gsumvsmul 25930
 Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15226, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b
gsumvsmul.s Scalar
gsumvsmul.k
gsumvsmul.z
gsumvsmul.p
gsumvsmul.t
gsumvsmul.r
gsumvsmul.a
gsumvsmul.x
gsumvsmul.y
gsumvsmul.n
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumvsmul
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2
2 gsumvsmul.z . 2
3 gsumvsmul.r . . 3
4 lmodcmn 15508 . . 3 CMnd
53, 4syl 17 . 2 CMnd
6 cmnmnd 14939 . . 3 CMnd
75, 6syl 17 . 2
8 gsumvsmul.a . 2
9 gsumvsmul.x . . . 4
10 gsumvsmul.s . . . . 5 Scalar
11 gsumvsmul.t . . . . 5
12 gsumvsmul.k . . . . 5
131, 10, 11, 12lmodvsghm 15521 . . . 4
143, 9, 13syl2anc 645 . . 3
15 ghmmhm 14528 . . 3 MndHom
1614, 15syl 17 . 2 MndHom
17 gsumvsmul.y . 2
18 gsumvsmul.n . 2
19 oveq2 5718 . 2
20 oveq2 5718 . 2 g g
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15047 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  cvv 2727   cdif 3075  csn 3544   cmpt 3974  ccnv 4579  cima 4583  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cbs 13022   cplusg 13082  Scalarcsca 13085  cvsca 13086  c0g 13274   g cgsu 13275  cmnd 14196   MndHom cmhm 14248   cghm 14515  CMndccmn 14924  clmod 15462 This theorem is referenced by:  frlmup1  26416 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-hash 11216  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-ghm 14516  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-lmod 15464
 Copyright terms: Public domain W3C validator