Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvallem1 Unicode version

Theorem gsumvallem1 14283
 Description: Lemma for properties of the set of identities of . Either has no identities, and , or it has one and this identity is unique and identified by the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvallem1.b
gsumvallem1.z
gsumvallem1.p
gsumvallem1.o
Assertion
Ref Expression
gsumvallem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem gsumvallem1
StepHypRef Expression
1 gsumvallem1.o . 2
2 simpr 449 . . . . . . . 8
3 gsumvallem1.b . . . . . . . . 9
4 gsumvallem1.z . . . . . . . . 9
5 gsumvallem1.p . . . . . . . . 9
6 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . 14
76eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13
8 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14
98eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12
1110ralbidv 2527 . . . . . . . . . . 11
1211rcla4ev 2821 . . . . . . . . . 10
1312adantl 454 . . . . . . . . 9
143, 4, 5, 13ismgmid 14222 . . . . . . . 8
152, 14mpbid 203 . . . . . . 7
1615eqcomd 2258 . . . . . 6
17 elsn 3559 . . . . . 6
1816, 17sylibr 205 . . . . 5
1918expr 601 . . . 4
2019ralrimiva 2588 . . 3
21 rabss 3171 . . 3
2220, 21sylibr 205 . 2
231, 22syl5eqss 3143 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510  crab 2512   wss 3078  csn 3544  cfv 4592  (class class class)co 5710  cbs 13022   cplusg 13082  c0g 13274 This theorem is referenced by:  gsumvallem2  14284  gsumress  14289  gsumval2  14295 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fv 4608  df-ov 5713  df-iota 6143  df-riota 6190  df-0g 13278
 Copyright terms: Public domain W3C validator