Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpoinvop Unicode version

Theorem grpoinvop 20738
 Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpasscan1.1
grpasscan1.2
Assertion
Ref Expression
grpoinvop

Proof of Theorem grpoinvop
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . . 4
2 simp2 961 . . . 4
3 simp3 962 . . . 4
4 grpasscan1.1 . . . . . . 7
5 grpasscan1.2 . . . . . . 7
64, 5grpoinvcl 20723 . . . . . 6
763adant2 979 . . . . 5
84, 5grpoinvcl 20723 . . . . . 6
983adant3 980 . . . . 5
104grpocl 20697 . . . . 5
111, 7, 9, 10syl3anc 1187 . . . 4
124grpoass 20700 . . . 4
131, 2, 3, 11, 12syl13anc 1189 . . 3
14 eqid 2253 . . . . . . . 8 GId GId
154, 14, 5grporinv 20726 . . . . . . 7 GId
16153adant2 979 . . . . . 6 GId
1716oveq1d 5725 . . . . 5 GId
184grpoass 20700 . . . . . 6
191, 3, 7, 9, 18syl13anc 1189 . . . . 5
204, 14grpolid 20716 . . . . . . 7 GId
218, 20syldan 458 . . . . . 6 GId
22213adant3 980 . . . . 5 GId
2317, 19, 223eqtr3d 2293 . . . 4
2423oveq2d 5726 . . 3
254, 14, 5grporinv 20726 . . . 4 GId
26253adant3 980 . . 3 GId
2713, 24, 263eqtrd 2289 . 2 GId
284grpocl 20697 . . 3
294, 14, 5grpoinvid1 20727 . . 3 GId
301, 28, 11, 29syl3anc 1187 . 2 GId
3127, 30mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   crn 4581  cfv 4592  (class class class)co 5710  cgr 20683  GIdcgi 20684  cgn 20685 This theorem is referenced by:  grpoinvdiv  20742  grpopnpcan2  20750  gxcom  20766  gxinv  20767  gxsuc  20769  gxdi  20793  abloinvop  24519  fprodneg  24544  invaddvec  24633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-iota 6143  df-riota 6190  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690
 Copyright terms: Public domain W3C validator