Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grothac Unicode version

Theorem grothac 8332
 Description: The Tarksi-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Choice (in the form of cardeqv 7980). This can be put in a more conventional form via ween 7546 and dfac8 7645. Note that the mere existence of strongly inaccessible cardinals doesn't imply AC, but rather the particular form of the Tarski-Grothendieck axiom (see http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
grothac

Proof of Theorem grothac
StepHypRef Expression
1 axgroth6 8330 . . . 4
2 pweq 3533 . . . . . . . . . . 11
32sseq1d 3126 . . . . . . . . . 10
42eleq1d 2319 . . . . . . . . . 10
53, 4anbi12d 694 . . . . . . . . 9
65rcla4va 2819 . . . . . . . 8
76simpld 447 . . . . . . 7
8 rabss 3171 . . . . . . . 8
98biimpri 199 . . . . . . 7
10 vex 2730 . . . . . . . . . . 11
1110canth2 6899 . . . . . . . . . 10
12 sdomdom 6775 . . . . . . . . . 10
1311, 12ax-mp 10 . . . . . . . . 9
14 vex 2730 . . . . . . . . . 10
15 ssdomg 6793 . . . . . . . . . 10
1614, 15ax-mp 10 . . . . . . . . 9
17 domtr 6799 . . . . . . . . 9
1813, 16, 17sylancr 647 . . . . . . . 8
19 tskwe 7467 . . . . . . . . 9
2014, 19mpan 654 . . . . . . . 8
21 numdom 7549 . . . . . . . . 9
2221expcom 426 . . . . . . . 8
2318, 20, 22syl2im 36 . . . . . . 7
247, 9, 23syl2im 36 . . . . . 6
25243impia 1153 . . . . 5
2625exlimiv 2023 . . . 4
271, 26ax-mp 10 . . 3
2827, 102th 232 . 2
2928eqriv 2250 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  crab 2512  cvv 2727   wss 3078  cpw 3530   class class class wbr 3920   cdm 4580   cdom 6747   csdm 6748  ccrd 7452 This theorem is referenced by:  axgroth3  8333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-groth 8325 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-card 7456
 Copyright terms: Public domain W3C validator