Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Unicode version

Theorem gchpwdom 8176
 Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom GCH GCH

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 964 . . . . . . 7 GCH GCH GCH
2 pwexg 4088 . . . . . . 7 GCH
31, 2syl 17 . . . . . 6 GCH GCH
4 simpl3 965 . . . . . 6 GCH GCH GCH
5 cdadom3 7698 . . . . . 6 GCH
63, 4, 5syl2anc 645 . . . . 5 GCH GCH
7 domen2 6889 . . . . 5
86, 7syl5ibrcom 215 . . . 4 GCH GCH
9 cdacomen 7691 . . . . . . 7
10 entr 6798 . . . . . . 7
119, 10mpan 654 . . . . . 6
12 ensym 6796 . . . . . 6
13 endom 6774 . . . . . 6
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5
15 domsdomtr 6881 . . . . . . . . . . 11
16153ad2antl1 1122 . . . . . . . . . 10 GCH GCH
17 sdomnsym 6871 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 GCH GCH
19 isfinite 7237 . . . . . . . . 9
2018, 19sylnibr 298 . . . . . . . 8 GCH GCH
21 gchcdaidm 8170 . . . . . . . 8 GCH
224, 20, 21syl2anc 645 . . . . . . 7 GCH GCH
23 pwen 6919 . . . . . . 7
24 domen1 6888 . . . . . . 7
2522, 23, 243syl 20 . . . . . 6 GCH GCH
26 pwcdadom 7726 . . . . . . 7
27 canth2g 6900 . . . . . . . . 9 GCH
28 sdomdomtr 6879 . . . . . . . . . 10
2928ex 425 . . . . . . . . 9
304, 27, 293syl 20 . . . . . . . 8 GCH GCH
31 gchi 8126 . . . . . . . . . 10 GCH
32313expia 1158 . . . . . . . . 9 GCH
33323ad2antl2 1123 . . . . . . . 8 GCH GCH
34 isfinite 7237 . . . . . . . . 9
35 simpl1 963 . . . . . . . . . . 11 GCH GCH
36 domnsym 6872 . . . . . . . . . . 11
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 GCH GCH
3837pm2.21d 100 . . . . . . . . 9 GCH GCH
3934, 38syl5bi 210 . . . . . . . 8 GCH GCH
4030, 33, 393syld 53 . . . . . . 7 GCH GCH
4126, 40syl5 30 . . . . . 6 GCH GCH
4225, 41sylbird 228 . . . . 5 GCH GCH
4314, 42syl5 30 . . . 4 GCH GCH
44 cdadom3 7698 . . . . . . 7 GCH
454, 3, 44syl2anc 645 . . . . . 6 GCH GCH
46 domentr 6805 . . . . . 6
4745, 9, 46sylancl 646 . . . . 5 GCH GCH
48 sdomdom 6775 . . . . . . . . 9
4948adantl 454 . . . . . . . 8 GCH GCH
50 pwdom 6898 . . . . . . . 8
51 cdadom1 7696 . . . . . . . 8
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . 7 GCH GCH
534, 27syl 17 . . . . . . . 8 GCH GCH
54 sdomdom 6775 . . . . . . . 8
55 cdadom2 7697 . . . . . . . 8
5653, 54, 553syl 20 . . . . . . 7 GCH GCH
57 domtr 6799 . . . . . . 7
5852, 56, 57syl2anc 645 . . . . . 6 GCH GCH
59 pwcda1 7704 . . . . . . . 8 GCH
604, 59syl 17 . . . . . . 7 GCH GCH
61 gchcda1 8158 . . . . . . . . 9 GCH
624, 20, 61syl2anc 645 . . . . . . . 8 GCH GCH
63 pwen 6919 . . . . . . . 8
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 GCH GCH
65 entr 6798 . . . . . . 7
6660, 64, 65syl2anc 645 . . . . . 6 GCH GCH
67 domentr 6805 . . . . . 6
6858, 66, 67syl2anc 645 . . . . 5 GCH GCH
69 gchor 8129 . . . . 5 GCH
704, 20, 47, 68, 69syl22anc 1188 . . . 4 GCH GCH
718, 43, 70mpjaod 372 . . 3 GCH GCH
7271ex 425 . 2 GCH GCH
73 reldom 6755 . . . . 5
7473brrelexi 4636 . . . 4
75 pwexb 4455 . . . . 5
76 canth2g 6900 . . . . 5
7775, 76sylbir 206 . . . 4
7874, 77syl 17 . . 3
79 sdomdomtr 6879 . . 3
8078, 79mpancom 653 . 2
8172, 80impbid1 196 1 GCH GCH
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 939   wcel 1621  cvv 2727  cpw 3530   class class class wbr 3920  com 4547  (class class class)co 5710  c1o 6358   cen 6746   cdom 6747   csdm 6748  cfn 6749   ccda 7677  GCHcgch 8122 This theorem is referenced by:  gchaleph2  8178  gchina  8201 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-seqom 6346  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-oexp 6371  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-har 7156  df-wdom 7157  df-cnf 7247  df-card 7456  df-cda 7678  df-fin4 7797  df-gch 8123
 Copyright terms: Public domain W3C validator