Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fun11 Unicode version

Theorem fun11 5172
 Description: Two ways of stating that is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 612 . . . . . . . 8
21imbi2i 305 . . . . . . 7
3 pm4.76 841 . . . . . . 7
4 bi2.04 352 . . . . . . . 8
5 bi2.04 352 . . . . . . . 8
64, 5anbi12i 681 . . . . . . 7
72, 3, 63bitr2i 266 . . . . . 6
872albii 1555 . . . . 5
9 19.26-2 1593 . . . . 5
10 alcom 1568 . . . . . . 7
11 nfv 1629 . . . . . . . . 9
12 breq1 3923 . . . . . . . . . . 11
1312anbi1d 688 . . . . . . . . . 10
1413imbi1d 310 . . . . . . . . 9
1511, 14equsal 1850 . . . . . . . 8
1615albii 1554 . . . . . . 7
1710, 16bitri 242 . . . . . 6
18 nfv 1629 . . . . . . . 8
19 breq2 3924 . . . . . . . . . 10
2019anbi1d 688 . . . . . . . . 9
2120imbi1d 310 . . . . . . . 8
2218, 21equsal 1850 . . . . . . 7
2322albii 1554 . . . . . 6
2417, 23anbi12i 681 . . . . 5
258, 9, 243bitri 264 . . . 4
26252albii 1555 . . 3
27 19.26-2 1593 . . 3
2826, 27bitr2i 243 . 2
29 fun2cnv 5169 . . . 4
30 breq2 3924 . . . . . 6
3130mo4 2146 . . . . 5
3231albii 1554 . . . 4
33 alcom 1568 . . . . 5
3433albii 1554 . . . 4
3529, 32, 343bitri 264 . . 3
36 funcnv2 5166 . . . 4
37 breq1 3923 . . . . . 6
3837mo4 2146 . . . . 5
3938albii 1554 . . . 4
40 alcom 1568 . . . . . 6
4140albii 1554 . . . . 5
42 alcom 1568 . . . . 5
4341, 42bitri 242 . . . 4
4436, 39, 433bitri 264 . . 3
4535, 44anbi12i 681 . 2
46 alrot4 1611 . 2
4728, 45, 463bitr4i 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360  wal 1532   wceq 1619  wmo 2115   class class class wbr 3920  ccnv 4579   wfun 4586 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-fun 4602
 Copyright terms: Public domain W3C validator