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Theorem ftalem1 20142
Description: Lemma for fta 20149: "growth lemma". There exists some  r such that  F is arbitrarily close in proportion to its dominant term. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem1.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftalem1.6  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
Assertion
Ref Expression
ftalem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    E, r    k, N, r, x    k, F, r, x    ph, k, x    S, k    T, k, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    E( x, k)

Proof of Theorem ftalem1
StepHypRef Expression
1 ftalem1.6 . . . 4  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
2 fzfid 10913 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
3 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
54coef3 19446 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
7 elfznn0 10700 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
8 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
109abscld 11795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  RR )
112, 10fsumrecl 12084 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
12 ftalem1.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1311, 12rerpdivcld 10296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  e.  RR )
141, 13syl5eqel 2337 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
15 1re 8717 . . 3  |-  1  e.  RR
16 ifcl 3506 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 646 . 2  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
183adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
19 simprl 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
20 ftalem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  (deg `  F )
214, 20coeid2 19453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
2218, 19, 21syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
23 ftalem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2524adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
26 nn0uz 10141 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2725, 26syl6eleq 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
28 elfznn0 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
296adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  A : NN0 --> CC )
3029, 8sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
31 expcl 10999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3219, 31sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3330, 32mulcld 8735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
3428, 33sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
35 fveq2 5377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A `  k )  =  ( A `  N ) )
36 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  (
x ^ k )  =  ( x ^ N ) )
3735, 36oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )
3827, 34, 37fsumm1 12093 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
3922, 38eqtrd 2285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  +  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
4039oveq1d 5725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  +  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
41 fzfid 10913 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
427, 33sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
4341, 42fsumcl 12083 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  e.  CC )
44 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
4529, 25, 44syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
4619, 25expcld 11123 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
4745, 46mulcld 8735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
4843, 47pncand 9038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
4940, 48eqtrd 2285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
5049fveq2d 5381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) ) )
5143abscld 11795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5242abscld 11795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5341, 52fsumrecl 12084 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  e.  RR )
5412adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR+ )
5554rpred 10269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR )
5619abscld 11795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
5756, 25reexpcld 11140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
5855, 57remulcld 8743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  e.  RR )
5941, 42fsumabs 12136 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) ) )
6011adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  e.  RR )
6123adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
62 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
6456, 63reexpcld 11140 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6560, 64remulcld 8743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6610adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
6764adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6866, 67remulcld 8743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
6930, 32absmuld 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
707, 69sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
717, 32sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( x ^
k )  e.  CC )
7271abscld 11795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  e.  RR )
737, 30sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7473absge0d 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A `  k ) ) )
75 absexp 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7619, 7, 75syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7756adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7815a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
7917adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  e.  RR )
80 max1 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8115, 14, 80sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8281adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
83 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) )
8478, 79, 56, 82, 83lelttrd 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
8578, 56, 84ltled 8847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
8685adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  x ) )
87 elfzuz3 10673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
8887adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
8977, 86, 88leexp2ad 11155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ k
)  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
9076, 89eqbrtrd 3940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
9172, 67, 66, 74, 90lemul2ad 9577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  ( abs `  ( x ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9270, 91eqbrtrd 3940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9341, 52, 68, 92fsumle 12134 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9464recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
9566recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  CC )
9641, 94, 95fsummulc1 12124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9793, 96breqtrrd 3946 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9814adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
99 max2 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10015, 14, 99sylancr 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
101100adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10298, 79, 56, 101, 83lelttrd 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
1031, 102syl5eqbrr 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
) )
10460, 56, 54ltdivmuld 10316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
)  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) ) ) )
105103, 104mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) ) )
10655, 56remulcld 8743 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
10763nn0zd 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
108 0re 8718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
109108a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  e.  RR )
110 0lt1 9176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
111110a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  1 )
112109, 78, 56, 111, 84lttrd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( abs `  x ) )
113 expgt0 11013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  x
) )  ->  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )
11456, 107, 112, 113syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
115 ltmul1 9486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR  /\  ( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
11660, 106, 64, 114, 115syl112anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  <  (
( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
117105, 116mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
11856recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
119 expm1t 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
120118, 61, 119syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
12194, 118mulcomd 8736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
122120, 121eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
123122oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
12455recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  CC )
125124, 118, 94mulassd 8738 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
126123, 125eqtr4d 2288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
127117, 126breqtrrd 3946 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12853, 65, 58, 97, 127lelttrd 8854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12951, 53, 58, 59, 128lelttrd 8854 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
13050, 129eqbrtrd 3940 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
131130expr 601 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
132131ralrimiva 2588 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
133 breq1 3923 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( r  <  ( abs `  x )  <->  if (
1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )
134133imbi1d 310 . . . 4  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <-> 
( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) ) )
135134ralbidv 2527 . . 3  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
136135rcla4ev 2821 . 2  |-  ( ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
13717, 132, 136syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   ifcif 3470   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   ...cfz 10660   ^cexp 10982   abscabs 11596   sum_csu 12035  Polycply 19398  coeffccoe 19400  degcdgr 19401
This theorem is referenced by:  ftalem2  20143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-0p 18857  df-ply 19402  df-coe 19404  df-dgr 19405
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