Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmin Unicode version

Theorem frmin 23410
 Description: Every (possibly proper) subclass of a class with a founded, set-like relation has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 23373 and tz7.5 4306. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frmin Se
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frmin
StepHypRef Expression
1 frss 4253 . . . 4
2 sess2 4255 . . . 4 Se Se
31, 2anim12d 548 . . 3 Se Se
4 n0 3371 . . . 4
5 predeq3 23339 . . . . . . . . . . 11
65eqeq1d 2261 . . . . . . . . . 10
76rcla4ev 2821 . . . . . . . . 9
87ex 425 . . . . . . . 8
98adantl 454 . . . . . . 7 Se
10 setlikespec 23355 . . . . . . . . . . 11 Se
11 trpredpred 23399 . . . . . . . . . . . . 13
12 ssn0 3394 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ex 425 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12
15 trpredss 23400 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15jctild 529 . . . . . . . . . . 11
1710, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 Se
1817adantr 453 . . . . . . . . 9 Se
19 trpredex 23408 . . . . . . . . . . 11
20 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . . . 14
21 neeq1 2420 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 21anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13
23 predeq2 23338 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rexeqbi1dv 2697 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
2726imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11
28 dffr4 23350 . . . . . . . . . . . 12
29 ax-4 1692 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29sylbi 189 . . . . . . . . . . 11
3119, 27, 30vtocl 2776 . . . . . . . . . 10
3210, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 Se
3332adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 Se
34 trpredtr 23401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Se
3534imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 Se
36 sspred 23342 . . . . . . . . . . . . . . 15
3733, 35, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14 Se
3837eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13 Se
3938biimprd 216 . . . . . . . . . . . 12 Se
4039reximdva 2617 . . . . . . . . . . 11 Se
41 ssrexv 3159 . . . . . . . . . . 11
4232, 40, 41sylsyld 54 . . . . . . . . . 10 Se
4331, 42sylan9r 642 . . . . . . . . 9 Se
4418, 43syld 42 . . . . . . . 8 Se
4544an31s 784 . . . . . . 7 Se
469, 45pm2.61dne 2489 . . . . . 6 Se
4746ex 425 . . . . 5 Se
4847exlimdv 1932 . . . 4 Se
494, 48syl5bi 210 . . 3 Se
503, 49syl6com 33 . 2 Se
5150imp32 424 1 Se
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360  wal 1532  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wrex 2510  cvv 2727   wss 3078  c0 3362   wfr 4242   Se wse 4243  cpred 23335  ctrpred 23388 This theorem is referenced by:  frind  23411 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-pred 23336  df-trpred 23389
 Copyright terms: Public domain W3C validator