Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr3nr Unicode version

Theorem fr3nr 4462
 Description: A well-founded relation has no 3-cycle loops. Special case of Proposition 6.23 of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fr3nr

Proof of Theorem fr3nr
StepHypRef Expression
1 tpex 4410 . . . . . . 7
21a1i 12 . . . . . 6
3 simpl 445 . . . . . 6
4 df-tp 3552 . . . . . . 7
5 simpr1 966 . . . . . . . . 9
6 simpr2 967 . . . . . . . . 9
7 prssi 3671 . . . . . . . . 9
85, 6, 7syl2anc 645 . . . . . . . 8
9 simpr3 968 . . . . . . . . 9
109snssd 3660 . . . . . . . 8
118, 10unssd 3261 . . . . . . 7
124, 11syl5eqss 3143 . . . . . 6
13 snsstp1 3666 . . . . . . . 8
14 snssg 3656 . . . . . . . . 9
155, 14syl 17 . . . . . . . 8
1613, 15mpbiri 226 . . . . . . 7
17 ne0i 3368 . . . . . . 7
1816, 17syl 17 . . . . . 6
19 fri 4248 . . . . . 6
202, 3, 12, 18, 19syl22anc 1188 . . . . 5
21 breq2 3924 . . . . . . . . 9
2221notbid 287 . . . . . . . 8
2322ralbidv 2527 . . . . . . 7
24 breq2 3924 . . . . . . . . 9
2524notbid 287 . . . . . . . 8
2625ralbidv 2527 . . . . . . 7
27 breq2 3924 . . . . . . . . 9
2827notbid 287 . . . . . . . 8
2928ralbidv 2527 . . . . . . 7
3023, 26, 29rextpg 3589 . . . . . 6
3130adantl 454 . . . . 5
3220, 31mpbid 203 . . . 4
33 snsstp3 3668 . . . . . . 7
34 snssg 3656 . . . . . . . 8
359, 34syl 17 . . . . . . 7
3633, 35mpbiri 226 . . . . . 6
37 breq1 3923 . . . . . . . 8
3837notbid 287 . . . . . . 7
3938rcla4v 2817 . . . . . 6
4036, 39syl 17 . . . . 5
41 breq1 3923 . . . . . . . 8
4241notbid 287 . . . . . . 7
4342rcla4v 2817 . . . . . 6
4416, 43syl 17 . . . . 5
45 snsstp2 3667 . . . . . . 7
46 snssg 3656 . . . . . . . 8
476, 46syl 17 . . . . . . 7
4845, 47mpbiri 226 . . . . . 6
49 breq1 3923 . . . . . . . 8
5049notbid 287 . . . . . . 7
5150rcla4v 2817 . . . . . 6
5248, 51syl 17 . . . . 5
5340, 44, 523orim123d 1265 . . . 4
5432, 53mpd 16 . . 3
55 3ianor 954 . . 3
5654, 55sylibr 205 . 2
57 3anrot 944 . 2
5856, 57sylnib 297 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   w3o 938   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   cun 3076   wss 3078  c0 3362  csn 3544  cpr 3545  ctp 3546   class class class wbr 3920   wfr 4242 This theorem is referenced by:  epne3  4463  dfwe2  4464 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-fr 4245
 Copyright terms: Public domain W3C validator