MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filn0 Unicode version

Theorem filn0 17389
Description: The empty set is not a filter. Remark below def. 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filn0  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )

Proof of Theorem filn0
StepHypRef Expression
1 filtop 17382 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
2 ne0i 3368 . 2  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 17 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621    =/= wne 2412   (/)c0 3362   ` cfv 4592   Filcfil 17372
This theorem is referenced by:  ufileu  17446  filufint  17447  uffixfr  17450  uffix2  17451  uffixsn  17452  hausflim  17508  fclsval  17535  isfcls  17536  fclsopn  17541  fclsfnflim  17554  filnetlem4  25496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fv 4608  df-fbas 17352  df-fil 17373
  Copyright terms: Public domain W3C validator