Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth Unicode version

Theorem facth 19518
 Description: The factor theorem. If a polynomial has a root at , then is a factor of (and the other factor is quot ). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
facth.1
Assertion
Ref Expression
facth Poly quot

Proof of Theorem facth
StepHypRef Expression
1 facth.1 . . . . 5
2 eqid 2253 . . . . 5 quot quot
31, 2plyrem 19517 . . . 4 Poly quot
433adant3 980 . . 3 Poly quot
5 simp3 962 . . . . 5 Poly
65sneqd 3557 . . . 4 Poly
76xpeq2d 4620 . . 3 Poly
84, 7eqtrd 2285 . 2 Poly quot
9 cnex 8698 . . . 4
109a1i 12 . . 3 Poly
11 simp1 960 . . . 4 Poly Poly
12 plyf 19412 . . . 4 Poly
1311, 12syl 17 . . 3 Poly
141plyremlem 19516 . . . . . . 7 Poly deg
15143ad2ant2 982 . . . . . 6 Poly Poly deg
1615simp1d 972 . . . . 5 Poly Poly
17 plyssc 19414 . . . . . . 7 Poly Poly
1817, 11sseldi 3101 . . . . . 6 Poly Poly
1915simp2d 973 . . . . . . . 8 Poly deg
20 ax-1ne0 8686 . . . . . . . . 9
2120a1i 12 . . . . . . . 8 Poly
2219, 21eqnetrd 2430 . . . . . . 7 Poly deg
23 fveq2 5377 . . . . . . . . 9 deg deg
24 dgr0 19475 . . . . . . . . 9 deg
2523, 24syl6eq 2301 . . . . . . . 8 deg
2625necon3i 2451 . . . . . . 7 deg
2722, 26syl 17 . . . . . 6 Poly
28 quotcl2 19514 . . . . . 6 Poly Poly quot Poly
2918, 16, 27, 28syl3anc 1187 . . . . 5 Poly quot Poly
30 plymulcl 19435 . . . . 5 Poly quot Poly quot Poly
3116, 29, 30syl2anc 645 . . . 4 Poly quot Poly
32 plyf 19412 . . . 4 quot Poly quot
3331, 32syl 17 . . 3 Poly quot
34 ofsubeq0 9623 . . 3 quot quot quot
3510, 13, 33, 34syl3anc 1187 . 2 Poly quot quot
368, 35mpbid 203 1 Poly quot
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  cvv 2727  csn 3544   cxp 4578  ccnv 4579  cima 4583  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710   cof 5928  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   cmin 8917  c0p 18856  Polycply 19398  cidp 19399  degcdgr 19401   quot cquot 19502 This theorem is referenced by:  fta1lem  19519  vieta1lem1  19522  vieta1lem2  19523 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-0p 18857  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503
 Copyright terms: Public domain W3C validator