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Theorem expcnv 12598
Description: A sequence of powers of a complex number  A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcnv.2  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
expcnv  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  1  e.  ZZ )
4 nn0ex 10183 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
54mptex 5925 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
7 0cn 9040 . . . 4  |-  0  e.  CC
87a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
9 nnnn0 10184 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
10 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
11 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
12 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( A ^ k )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
149, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k )  =  ( A ^
k ) )
15 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  A  =  0 )
1615oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( A ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
1714, 16sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( 0 ^ k ) )
18 0exp 11370 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0 ^ k )  =  0 )
1918adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 ^ k
)  =  0 )
2017, 19eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  0 )
211, 3, 6, 8, 20climconst 12292 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
222a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  1  e.  ZZ )
23 expcnv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
2423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <  1 )
25 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
26 absrpcl 12048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2725, 26sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
2827reclt1d 10617 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  <  1  <->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) ) )
2924, 28mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
30 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3127rpreccld 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+ )
3231rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
33 difrp 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
3430, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  <  ( 1  /  ( abs `  A
) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
3529, 34mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  e.  RR+ )
3635rpreccld 10614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  RR+ )
3736rpcnd 10606 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC )
38 divcnv 12588 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) )  ~~>  0 )
40 nnex 9962 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4140mptex 5925 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  e.  _V
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
43 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
44 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )
45 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  _V
4643, 44, 45fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k ) )
4746adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k ) )
4836rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
49 nndivre 9991 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
5048, 49sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
5147, 50eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
52 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  A
) ^ n )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
53 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )
54 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A ) ^ k )  e. 
_V
5552, 53, 54fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
5655adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
57 nnz 10259 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
58 rpexpcl 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
5927, 57, 58syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
6056, 59eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR+ )
6160rpred 10604 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR )
62 nnrp 10577 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
63 rpmulcl 10589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
6435, 62, 63syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
6564rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR )
66 peano2re 9195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
68 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
6931, 57, 68syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
7069rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR )
7165lep1d 9898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  +  1 ) )
7232adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
739adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
7431rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
76 bernneq2 11461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
7772, 73, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
7865, 67, 70, 71, 77letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( ( 1  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
7927rpcnne0d 10613 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
80 exprec 11376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
81803expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( ( abs `  A ) ^ k
) ) )
8279, 57, 81syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
8378, 82breqtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( 1  / 
( ( abs `  A
) ^ k ) ) )
8464, 59, 83lerec2d 10625 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  <_  ( 1  / 
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
8535rpcnne0d 10613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  =/=  0 ) )
86 nncn 9964 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
87 nnne0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
8886, 87jca 519 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
89 recdiv2 9683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  x.  k
) ) )
9085, 88, 89syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  =  ( 1  /  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
9184, 90breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  <_  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
9291, 56, 473brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k ) )
9360rpge0d 10608 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
) )
941, 22, 39, 42, 51, 61, 92, 93climsqz2 12390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 )
952a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
965a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
9741a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
989adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
9998, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
100 expcl 11354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
10125, 9, 100syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
10299, 101eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  CC )
103 absexp 12064 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
10425, 9, 103syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
10599fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k ) )  =  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
10655adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
107104, 105, 1063eqtr4rd 2447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k ) ) )
1081, 95, 96, 97, 102, 107climabs0 12334 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 ) )
109108biimpar 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )  ~~>  0 )  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0 )
11094, 109syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
11121, 110pm2.61dane 2645 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  explecnv  12599  geolim  12602  geo2lim  12607  iscmet3lem3  19196  mbfi1fseqlem6  19565  geomcau  26355  stoweidlem7  27623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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