MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Unicode version

Theorem exp0 11102
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition,  0 ^ 0  =  1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 10030 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 expval 11100 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
31, 2mpan2 654 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
4 eqid 2284 . . 3  |-  0  =  0
5 iftrue 3572 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1 )
64, 5ax-mp 10 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1
73, 6syl6eq 2332 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3566   {csn 3641   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   0cc0 8732   1c1 8733    x. cmul 8737    < clt 8862   -ucneg 9033    / cdiv 9418   NNcn 9741   ZZcz 10019    seq cseq 11040   ^cexp 11098
This theorem is referenced by:  expp1  11104  expneg  11105  expcllem  11108  mulexp  11135  expadd  11138  expmul  11141  leexp1a  11154  exple1  11155  bernneq  11221  modexp  11230  exp0d  11233  faclbnd  11297  faclbnd3  11299  faclbnd4lem1  11300  faclbnd4lem3  11302  faclbnd4lem4  11303  facubnd  11307  cjexp  11629  absexp  11783  binom  12282  incexclem  12289  incexc  12290  climcndslem1  12302  ef0lem  12354  ege2le3  12365  eft0val  12386  demoivreALT  12475  bits0  12613  0bits  12624  bitsinv1  12627  sadcadd  12643  smumullem  12677  numexp0  13085  cnfldexp  16401  expmhm  16443  expcn  18370  iblcnlem1  19136  itgcnlem  19138  dvexp  19296  dvexp2  19297  plyconst  19582  0dgr  19621  0dgrb  19622  coefv0  19623  aaliou3lem2  19717  tayl0  19735  cxpexp  20009  cxp0  20011  1cubr  20132  log2ublem3  20238  basellem2  20313  basellem5  20316  musum  20425  logexprlim  20458  lgsquad2lem2  20592  subfacval2  23122  bpoly0  24192  psgnunilem4  26819  m1expeven  27124  stoweidlem19  27167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-neg 9035  df-z 10020  df-seq 11041  df-exp 11099
  Copyright terms: Public domain W3C validator