MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Unicode version

Theorem exp0 11060
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition,  0 ^ 0  =  1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 9988 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 expval 11058 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
31, 2mpan2 655 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
4 eqid 2256 . . 3  |-  0  =  0
5 iftrue 3531 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1 )
64, 5ax-mp 10 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1
73, 6syl6eq 2304 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3525   {csn 3600   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691   1c1 8692    x. cmul 8696    < clt 8821   -ucneg 8992    / cdiv 9377   NNcn 9700   ZZcz 9977    seq cseq 10998   ^cexp 11056
This theorem is referenced by:  expp1  11062  expneg  11063  expcllem  11066  mulexp  11093  expadd  11096  expmul  11099  leexp1a  11112  exple1  11113  bernneq  11179  modexp  11188  exp0d  11191  faclbnd  11255  faclbnd3  11257  faclbnd4lem1  11258  faclbnd4lem3  11260  faclbnd4lem4  11261  facubnd  11265  cjexp  11586  absexp  11740  binom  12239  climcndslem1  12256  ef0lem  12308  ege2le3  12319  eft0val  12340  demoivreALT  12429  bits0  12567  0bits  12578  bitsinv1  12581  sadcadd  12597  smumullem  12631  numexp0  13039  cnfldexp  16355  expmhm  16397  expcn  18324  iblcnlem1  19090  itgcnlem  19092  dvexp  19250  dvexp2  19251  plyconst  19536  0dgr  19575  0dgrb  19576  coefv0  19577  aaliou3lem2  19671  tayl0  19689  cxpexp  19963  cxp0  19965  1cubr  20086  log2ublem3  20192  basellem2  20267  basellem5  20270  musum  20379  logexprlim  20412  lgsquad2lem2  20546  subfacval2  23076  bpoly0  24146  psgnunilem4  26773  stoweidlem19  27089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-neg 8994  df-z 9978  df-seq 10999  df-exp 11057
  Copyright terms: Public domain W3C validator