MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Unicode version

Theorem exp0 11124
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition,  0 ^ 0  =  1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 10051 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 expval 11122 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
4 eqid 2296 . . 3  |-  0  =  0
5 iftrue 3584 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1 )
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1
73, 6syl6eq 2344 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040    seq cseq 11062   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  expp1  11126  expneg  11127  expcllem  11130  mulexp  11157  expadd  11160  expmul  11163  leexp1a  11176  exple1  11177  bernneq  11243  modexp  11252  exp0d  11255  faclbnd  11319  faclbnd3  11321  faclbnd4lem1  11322  faclbnd4lem3  11324  faclbnd4lem4  11325  facubnd  11329  cjexp  11651  absexp  11805  binom  12304  incexclem  12311  incexc  12312  climcndslem1  12324  ef0lem  12376  ege2le3  12387  eft0val  12408  demoivreALT  12497  bits0  12635  0bits  12646  bitsinv1  12649  sadcadd  12665  smumullem  12699  numexp0  13107  cnfldexp  16423  expmhm  16465  expcn  18392  iblcnlem1  19158  itgcnlem  19160  dvexp  19318  dvexp2  19319  plyconst  19604  0dgr  19643  0dgrb  19644  coefv0  19645  aaliou3lem2  19739  tayl0  19757  cxpexp  20031  cxp0  20033  1cubr  20154  log2ublem3  20260  basellem2  20335  basellem5  20338  musum  20447  logexprlim  20480  lgsquad2lem2  20614  subfacval2  23733  bpoly0  24856  psgnunilem4  27522  m1expeven  27827  stoweidlem19  27870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-neg 9056  df-z 10041  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator