MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqlei Unicode version

Theorem eqlei 9139
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
eqlei  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqlei
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . . 4  |-  A  e.  RR
2 eleq1a 2473 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  =  A  ->  B  e.  RR ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( B  =  A  ->  B  e.  RR )
43eqcoms 2407 . 2  |-  ( A  =  B  ->  B  e.  RR )
5 letri3 9116 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
61, 5mpan 652 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
7 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  <_  B )
86, 7syl6bi 220 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  A  <_  B ) )
94, 8mpcom 34 1  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  le2tri3i  9159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator