Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 26546
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6754 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4636 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4408 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3569 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 en1b 6814 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } )
76biimpi 188 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
85, 7eleqtrrd 2330 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   {csn 3544   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   1oc1o 6358    ~~ cen 6746
This theorem is referenced by:  en2eleq  26547  en2other2  26548  pmtrf  26563  pmtrmvd  26564  pmtrfinv  26568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1o 6365  df-en 6750
  Copyright terms: Public domain W3C validator