MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en0 Unicode version

Theorem en0 6809
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )

Proof of Theorem en0
StepHypRef Expression
1 bren 6757 . . 3  |-  ( A 
~~  (/)  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> (/) )
2 f1ocnv 5342 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> (/)  ->  `' f : (/)
-1-1-onto-> A )
3 f1o00 5365 . . . . . 6  |-  ( `' f : (/) -1-1-onto-> A  <->  ( `' f  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
43simprbi 452 . . . . 5  |-  ( `' f : (/) -1-1-onto-> A  ->  A  =  (/) )
52, 4syl 17 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> (/)  ->  A  =  (/) )
65exlimiv 2023 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> (/)  ->  A  =  (/) )
71, 6sylbi 189 . 2  |-  ( A 
~~  (/)  ->  A  =  (/) )
8 0ex 4047 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
98enref 6780 . . 3  |-  (/)  ~~  (/)
10 breq1 3923 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A 
~~  (/)  <->  (/)  ~~  (/) ) )
119, 10mpbiri 226 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  A  ~~  (/) )
127, 11impbii 182 1  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178   E.wex 1537    = wceq 1619   (/)c0 3362   class class class wbr 3920   `'ccnv 4579   -1-1-onto->wf1o 4591    ~~ cen 6746
This theorem is referenced by:  snfi  6826  dom0  6874  0sdomg  6875  nneneq  6929  enp1i  6978  findcard  6982  findcard2  6983  fiint  7018  cantnff  7259  cantnf0  7260  cantnfp1lem2  7265  cantnflem1  7275  cantnf  7279  cnfcom2lem  7288  cardnueq0  7481  infmap2  7728  fin23lem26  7835  cardeq0  8056  hasheq0  11231  pmtrfmvdn0  26569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-en 6750
  Copyright terms: Public domain W3C validator