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Theorem elfzmlbp 27978
Description: Subtracting the lower bound of a finite sets of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbp  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp
StepHypRef Expression
1 elfz2 11006 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) ) )
2 znn0sub 10279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
32adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
43biimpcd 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
54adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
65impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  NN0 )
7 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
87adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
10 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1211adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
13 zaddcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1413adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
1514zred 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
16 letr 9123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  ->  M  <_  ( M  +  N )
) )
179, 12, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  M  <_  ( M  +  N
) ) )
18 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
19 addge01 9494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
208, 18, 19syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N 
<->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
21 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2221simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2420, 23sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( M  +  N
)  ->  N  e.  NN0 ) )
2517, 24syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  N  e.  NN0 ) )
2625imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
28 3ancoma 943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
2927, 28bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) 
<->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
3010, 7, 183anim123i 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
3129, 30sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
32 lesubadd2 9457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  M
)  <_  N  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  -  M )  <_  N 
<->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3433biimprcd 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  <_  ( M  +  N )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3534adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3635impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
376, 26, 363jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
3837exp31 588 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
3938com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
40393adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
4140imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4241com12 29 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
) )
431, 42syl5bi 209 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  ->  (
( K  -  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4443imp 419 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
45 elfz2nn0 11038 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
4644, 45sylibr 204 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  swrdccatin2  28018  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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