MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elecg Unicode version

Theorem elecg 6584
Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
elecg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  [ B ] R  <->  B R A ) )

Proof of Theorem elecg
StepHypRef Expression
1 elimasng 4946 . . 3  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( A  e.  ( R " { B } )  <->  <. B ,  A >.  e.  R ) )
21ancoms 441 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( R " { B } )  <->  <. B ,  A >.  e.  R ) )
3 df-ec 6548 . . 3  |-  [ B ] R  =  ( R " { B }
)
43eleq2i 2317 . 2  |-  ( A  e.  [ B ] R 
<->  A  e.  ( R
" { B }
) )
5 df-br 3921 . 2  |-  ( B R A  <->  <. B ,  A >.  e.  R )
62, 4, 53bitr4g 281 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  [ B ] R  <->  B R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   {csn 3544   <.cop 3547   class class class wbr 3920   "cima 4583   [cec 6544
This theorem is referenced by:  elec  6585  relelec  6586  ecdmn0  6588  erth  6590  erdisj  6593  qsel  6624  orbsta  14602  sylow2alem1  14763  sylow2blem1  14766  sylow3lem3  14775  efgi2  14869  tgpconcompeqg  17626  xmetec  17812  blpnfctr  17814  xmetresbl  17815  xrsblre  18149  pdiveql  25334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-ec 6548
  Copyright terms: Public domain W3C validator