MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldm Unicode version

Theorem eldm 4783
Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
eldm.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eldm  |-  ( A  e.  dom  B  <->  E. y  A B y )
Distinct variable groups:    y, A    y, B

Proof of Theorem eldm
StepHypRef Expression
1 eldm.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eldmg 4781 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  B  <->  E. y  A B y ) )
31, 2ax-mp 10 1  |-  ( A  e.  dom  B  <->  E. y  A B y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178   E.wex 1537    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920   dom cdm 4580
This theorem is referenced by:  dmi  4800  dmcoss  4851  dmcosseq  4853  dminss  5002  dmsnn0  5044  dffun7  5138  dffun8  5139  fnres  5217  fndmdif  5481  dff3  5525  frxp  6077  reldmtpos  6094  dmtpos  6098  opabiota  6177  aceq3lem  7631  axdc2lem  7958  axdclem2  8031  fpwwe2lem12  8143  nqerf  8434  shftdm  11443  xpsfrnel2  13341  bcthlem4  18581  dchrisumlem3  20472  eupath  23076  fundmpss  23290  elfix  23618  fnsingle  23632  fnimage  23642  funpartfun  23655  funpartfv  23657  dfrdg4  23662  dmhmph  24699  prtlem16  25903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-dm 4598
  Copyright terms: Public domain W3C validator