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Theorem eldioph4b 26060
Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4b  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Distinct variable groups:    W, p, t, w    S, p, t, w    N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26009 . 2  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 eldioph4b.a . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
3 ovex 5735 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
42, 3unex 4409 . . . . 5  |-  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
54jctr 528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  _V ) )
6 eldioph4b.b . . . . . . 7  |-  -.  W  e.  Fin
76intnanr 886 . . . . . 6  |-  -.  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )
8 unfir 7010 . . . . . 6  |-  ( ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin ) )
97, 8mto 169 . . . . 5  |-  -.  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin
10 ssun2 3249 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
119, 10pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( -.  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )
12 eldioph2b 26008 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  _V )  /\  ( -.  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
135, 11, 12sylancl 646 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
14 elmapssres 25958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  (
1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )
1510, 14mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
17 ssun1 3248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
18 elmapssres 25958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  W  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
1917, 18mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
2019adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
21 uncom 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  (
u  |`  ( 1 ... N ) ) )
22 resundi 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  ( u  |`  (
1 ... N ) ) )
2321, 22eqtr4i 2276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )
24 elmapi 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  u :
( W  u.  (
1 ... N ) ) --> NN0 )
25 ffn 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u : ( W  u.  ( 1 ... N
) ) --> NN0  ->  u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )
26 fnresdm 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  u )
2724, 25, 263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  u )
2823, 27syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  u )
2928fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  ( p `
 u ) )
3029eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0  <-> 
( p `  u
)  =  0 ) )
3130biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 )
32 uneq2 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )
3332fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) ) )
3433eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0  <->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 ) )
3534rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W )  /\  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 )
3620, 31, 35syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 )
3716, 36jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
38 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
39 uneq1 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )
4039fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) ) )
4140eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( p `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 ) )
4241rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
4338, 42anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 )  <->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4437, 43syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4544expimpd 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( p `  u
)  =  0  /\  t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4645ancomsd 442 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4746rexlimiv 2623 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
48 uncom 3229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  w )  =  ( w  u.  t
)
49 fz1ssnn 26058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
50 sslin 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN ) )
5149, 50ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN )
52 eldioph4b.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
5351, 52sseqtri 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/)
54 ss0 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
5553, 54ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
5655reseq2i 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( w  |`  (/) )
57 res0 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  (/) )  =  (/)
5856, 57eqtri 2273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
5955reseq2i 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  (/) )
60 res0 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  (/) )  =  (/)
6159, 60eqtri 2273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
6258, 61eqtr4i 2276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )
63 elmapresaun 26016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( w  u.  t )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
6462, 63mp3an3 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6564ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6648, 65syl5eqel 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
t  u.  w )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) )
6848reseq1i 4858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( w  u.  t
)  |`  ( 1 ... N ) )
69 elmapresaunres2 26017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( (
w  u.  t )  |`  ( 1 ... N
) )  =  t )
7062, 69mp3an3 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7170ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7268, 71syl5req 2298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
74 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )
75 reseq1 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
u  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) )
7675eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  <->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
77 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
p `  u )  =  ( p `  ( t  u.  w
) ) )
7877eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( p `  u
)  =  0  <->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 ) )
7976, 78anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
8079rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( t  =  ( ( t  u.  w
)  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8167, 73, 74, 80syl12anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8281ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8382rexlimdva 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8483imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) )
8547, 84impbii 182 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  <->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
8685abbii 2361 . . . . . 6  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
87 df-rab 2516 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
8886, 87eqtr4i 2276 . . . . 5  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 }
8988eqeq2i 2263 . . . 4  |-  ( S  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9089rexbii 2532 . . 3  |-  ( E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9113, 90syl6bb 254 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 } ) )
921, 91biadan2 626 1  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727    u. cun 3076    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362    |` cres 4582    Fn wfn 4587   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   Fincfn 6749   0cc0 8617   1c1 8618   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ...cfz 10660  mzPolycmzp 25966  Diophcdioph 26000
This theorem is referenced by:  eldioph4i  26061  diophren  26062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-hash 11216  df-mzpcl 25967  df-mzp 25968  df-dioph 26001
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