MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcnv Unicode version

Theorem elcnv 4765
Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
elcnv  |-  ( A  e.  `' R  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem elcnv
StepHypRef Expression
1 df-cnv 4596 . . 3  |-  `' R  =  { <. x ,  y
>.  |  y R x }
21eleq2i 2317 . 2  |-  ( A  e.  `' R  <->  A  e.  {
<. x ,  y >.  |  y R x } )
3 elopab 4165 . 2  |-  ( A  e.  { <. x ,  y >.  |  y R x }  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  y R x ) )
42, 3bitri 242 1  |-  ( A  e.  `' R  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3547   class class class wbr 3920   {copab 3973   `'ccnv 4579
This theorem is referenced by:  elcnv2  4766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-opab 3975  df-cnv 4596
  Copyright terms: Public domain W3C validator