Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Unicode version

Theorem eigorthi 22247
 Description: A necessary and sufficient condition (that holds when is a Hermitian operator) for two eigenvectors and to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1
eigorthi.2
eigorthi.3
eigorthi.4
Assertion
Ref Expression
eigorthi

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . . 4
2 eigorthi.4 . . . . 5
3 eigorthi.1 . . . . 5
4 eigorthi.2 . . . . 5
5 his5 21495 . . . . 5
62, 3, 4, 5mp3an 1282 . . . 4
71, 6syl6eq 2301 . . 3
8 oveq1 5717 . . . 4
9 eigorthi.3 . . . . 5
10 ax-his3 21493 . . . . 5
119, 3, 4, 10mp3an 1282 . . . 4
128, 11syl6eq 2301 . . 3
137, 12eqeqan12rd 2269 . 2
143, 4hicli 21490 . . . . . . . 8
152cjcli 11531 . . . . . . . . 9
16 mulcan2 9286 . . . . . . . . 9
1715, 9, 16mp3an12 1272 . . . . . . . 8
1814, 17mpan 654 . . . . . . 7
19 eqcom 2255 . . . . . . 7
2018, 19syl6bb 254 . . . . . 6
2120biimpcd 217 . . . . 5
2221necon1d 2481 . . . 4
2322com12 29 . . 3
24 oveq2 5718 . . . 4
25 oveq2 5718 . . . . 5
269mul01i 8882 . . . . . 6
2715mul01i 8882 . . . . . 6
2826, 27eqtr4i 2276 . . . . 5
2925, 28syl6eq 2301 . . . 4
3024, 29eqtr4d 2288 . . 3
3123, 30impbid1 196 . 2
3213, 31sylan9bb 683 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617   cmul 8622  ccj 11458  chil 21329   csm 21331   csp 21332 This theorem is referenced by:  eigorth  22248 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-hfvmul 21415  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his3 21493 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463
 Copyright terms: Public domain W3C validator