Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dva1dim Unicode version

Theorem dva1dim 29863
 Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A. Remark in [Crawley] p. 120 line 21, but using a non-identity translation (nonzero vector) whose trace is rather than itself; exists by cdlemf 29441. is the division ring base by erngdv 29871, and is the scalar product by dvavsca 29895. must be a non-identity translation for the expression to be a 1-dimensional subspace, although the theorem doesn't require it. (Contributed by NM, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dva1dim.l
dva1dim.h
dva1dim.t
dva1dim.r
dva1dim.e
Assertion
Ref Expression
dva1dim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dva1dim
StepHypRef Expression
1 dva1dim.h . . . . . . . . . 10
2 dva1dim.t . . . . . . . . . 10
3 dva1dim.e . . . . . . . . . 10
41, 2, 3tendocl 29645 . . . . . . . . 9
5 dva1dim.l . . . . . . . . . 10
6 dva1dim.r . . . . . . . . . 10
75, 1, 2, 6, 3tendotp 29639 . . . . . . . . 9
84, 7jca 520 . . . . . . . 8
983expb 1157 . . . . . . 7
109anass1rs 785 . . . . . 6
11 eleq1 2313 . . . . . . 7
12 fveq2 5377 . . . . . . . 8
1312breq1d 3930 . . . . . . 7
1411, 13anbi12d 694 . . . . . 6
1510, 14syl5ibrcom 215 . . . . 5
1615rexlimdva 2629 . . . 4
17 simpll 733 . . . . . . 7
18 simplr 734 . . . . . . 7
19 simprl 735 . . . . . . 7
20 simprr 736 . . . . . . 7
215, 1, 2, 6, 3tendoex 29853 . . . . . . 7
2217, 18, 19, 20, 21syl121anc 1192 . . . . . 6
23 eqcom 2255 . . . . . . 7
2423rexbii 2532 . . . . . 6
2522, 24sylib 190 . . . . 5
2625ex 425 . . . 4
2716, 26impbid 185 . . 3
2827abbidv 2363 . 2
29 df-rab 2516 . 2
3028, 29syl6eqr 2303 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239  wrex 2510  crab 2512   class class class wbr 3920  cfv 4592  cple 13089  chlt 28229  clh 28862  cltrn 28979  ctrl 29036  ctendo 29630 This theorem is referenced by:  dvhb1dimN  29864  dia1dim  29940 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-map 6660  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tendo 29633
 Copyright terms: Public domain W3C validator