MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 6872
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6777 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 6871 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6776 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6796 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 370 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 189 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359   class class class wbr 3920    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748
This theorem is referenced by:  sdom0  6878  sdomdomtr  6879  domsdomtr  6881  sdomdif  6894  onsdominel  6895  nndomo  6939  sdom1  6947  fofinf1o  7022  carddom2  7494  fidomtri  7510  fidomtri2  7511  infxpenlem  7525  alephordi  7585  infdif  7719  infdif2  7720  cfslbn  7777  cfslb2n  7778  fincssdom  7833  fin45  7902  domtriom  7953  alephval2  8074  alephreg  8084  pwcfsdom  8085  cfpwsdom  8086  pwfseqlem3  8162  gchhar  8173  gchpwdom  8176  gchaleph  8177  hargch  8179  winainflem  8195  rankcf  8279  tskcard  8283  vdwlem12  12913  odinf  14711  rectbntr0  18169  erdszelem10  22902  finminlem  25397  fphpd  26065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator