MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Unicode version

Theorem dmrecnq 8472
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq  |-  dom  *Q  =  Q.

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 8421 . . . . . 6  |-  *Q  =  ( `'  .Q  " { 1Q } )
2 cnvimass 4940 . . . . . 6  |-  ( `'  .Q  " { 1Q } )  C_  dom  .Q
31, 2eqsstri 3129 . . . . 5  |-  *Q  C_  dom  .Q
4 mulnqf 8453 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5251 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
63, 5sseqtri 3131 . . . 4  |-  *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7 dmss 4785 . . . 4  |-  ( *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )  ->  dom  *Q  C_  dom  ( Q.  X.  Q. )
)
86, 7ax-mp 10 . . 3  |-  dom  *Q  C_ 
dom  ( Q.  X.  Q. )
9 dmxpid 4805 . . 3  |-  dom  ( Q.  X.  Q. )  =  Q.
108, 9sseqtri 3131 . 2  |-  dom  *Q  C_ 
Q.
11 recclnq 8470 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
12 opelxpi 4628 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  x )  e.  Q. )  ->  <. x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. ) )
1311, 12mpdan 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )
)
14 df-ov 5713 . . . . . . . 8  |-  ( x  .Q  ( *Q `  x ) )  =  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )
15 recidnq 8469 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) )  =  1Q )
1614, 15syl5eqr 2299 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x )
>. )  =  1Q )
17 ffn 5246 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  ->  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )
)
18 fniniseg 5498 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )  ->  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) ) )
194, 17, 18mp2b 11 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) )
2013, 16, 19sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } ) )
2120, 1syl6eleqr 2344 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  *Q )
22 df-br 3921 . . . . 5  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  <->  <. x ,  ( *Q `  x
) >.  e.  *Q )
2321, 22sylibr 205 . . . 4  |-  ( x  e.  Q.  ->  x *Q ( *Q `  x
) )
24 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
25 fvex 5391 . . . . 5  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
2624, 25breldm 4790 . . . 4  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  ->  x  e.  dom  *Q )
2723, 26syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  dom  *Q )
2827ssriv 3105 . 2  |-  Q.  C_  dom  *Q
2910, 28eqssi 3116 1  |-  dom  *Q  =  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   {csn 3544   <.cop 3547   class class class wbr 3920    X. cxp 4578   `'ccnv 4579   dom cdm 4580   "cima 4583    Fn wfn 4587   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Q.cnq 8354   1Qc1q 8355    .Q cmq 8358   *Qcrq 8359
This theorem is referenced by:  ltrnq  8483  reclem2pr  8552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-mi 8378  df-lti 8379  df-mpq 8413  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421
  Copyright terms: Public domain W3C validator