MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfima3 Unicode version

Theorem dfima3 4922
Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfima3  |-  ( A
" B )  =  { y  |  E. x ( x  e.  B  /\  <. x ,  y >.  e.  A
) }
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem dfima3
StepHypRef Expression
1 dfima2 4921 . 2  |-  ( A
" B )  =  { y  |  E. x  e.  B  x A y }
2 df-br 3921 . . . . 5  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
32rexbii 2532 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  x A y  <->  E. x  e.  B  <. x ,  y >.  e.  A
)
4 df-rex 2514 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  <. x ,  y >.  e.  A  <->  E. x ( x  e.  B  /\  <. x ,  y >.  e.  A
) )
53, 4bitri 242 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  x A y  <->  E. x
( x  e.  B  /\  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
65abbii 2361 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  B  x A y }  =  { y  |  E. x ( x  e.  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  A ) }
71, 6eqtri 2273 1  |-  ( A
" B )  =  { y  |  E. x ( x  e.  B  /\  <. x ,  y >.  e.  A
) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   <.cop 3547   class class class wbr 3920   "cima 4583
This theorem is referenced by:  imadmrn  4931  imassrn  4932  imai  4934  funimaexg  5186  rdglim2  6331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601
  Copyright terms: Public domain W3C validator