Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfac11 Unicode version

Theorem dfac11 26326
 Description: The right hand side of this theorem (compare with ac4 7986), sometimes known as the "axiom of multiple choice", is a choice equivalent. Curiously, this statement cannot be proved without ax-reg 7190, despite not mentioning the cumulative hierarchy in any way as most consequences of regularity do. This is definition (MC) of [Schechter] p. 141. EDITORIAL: the proof is not original with me of course but I lost my reference sometime after writing it. A multiple choice function allows any total order to be extended to a choice function, which in turn defines a well ordering. Since a well ordering on a set defines a simple ordering of the power set, this allows the trivial well-ordering of the empty set to be transfinitely bootstrapped up the cumulative hierarchy to any desired level. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac11 CHOICE
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem dfac11
StepHypRef Expression
1 dfac3 7632 . . 3 CHOICE
2 raleq 2689 . . . . . 6
32exbidv 2005 . . . . 5
43cbvalv 2045 . . . 4
5 neeq1 2420 . . . . . . . . . 10
6 fveq2 5377 . . . . . . . . . . 11
7 id 21 . . . . . . . . . . 11
86, 7eleq12d 2321 . . . . . . . . . 10
95, 8imbi12d 313 . . . . . . . . 9
109cbvralv 2708 . . . . . . . 8
11 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211sneqd 3557 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . 14
14 snex 4110 . . . . . . . . . . . . . 14
1512, 13, 14fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . 13
16153ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12
17 simp3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817snssd 3660 . . . . . . . . . . . . . . 15
1914elpw 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14
21 snfi 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
23 elin 3266 . . . . . . . . . . . . . 14
2420, 22, 23sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13
25 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625snnz 3648 . . . . . . . . . . . . . 14
2726a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
28 eldifsn 3653 . . . . . . . . . . . . 13
2924, 27, 28sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . 12
3016, 29eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . 11
31303exp 1155 . . . . . . . . . 10
3231a2d 25 . . . . . . . . 9
3332ralimia 2578 . . . . . . . 8
3410, 33sylbi 189 . . . . . . 7
35 vex 2730 . . . . . . . . 9
3635mptex 5598 . . . . . . . 8
37 fveq1 5376 . . . . . . . . . . 11
3837eleq1d 2319 . . . . . . . . . 10
3938imbi2d 309 . . . . . . . . 9
4039ralbidv 2527 . . . . . . . 8
4136, 40cla4ev 2812 . . . . . . 7
4234, 41syl 17 . . . . . 6
4342exlimiv 2023 . . . . 5
4443alimi 1546 . . . 4
454, 44sylbi 189 . . 3
461, 45sylbi 189 . 2 CHOICE
47 fvex 5391 . . . . . . 7
4847pwex 4087 . . . . . 6
49 raleq 2689 . . . . . . 7
5049exbidv 2005 . . . . . 6
5148, 50cla4v 2811 . . . . 5
52 rankon 7351 . . . . . . . 8
5352a1i 12 . . . . . . 7
54 id 21 . . . . . . 7
5553, 54aomclem8 26325 . . . . . 6
5655exlimiv 2023 . . . . 5
57 vex 2730 . . . . . 6
58 r1rankid 7415 . . . . . 6
59 wess 4273 . . . . . . 7
6059eximdv 2018 . . . . . 6
6157, 58, 60mp2b 11 . . . . 5
6251, 56, 613syl 20 . . . 4
6362alrimiv 2012 . . 3
64 dfac8 7645 . . 3 CHOICE
6563, 64sylibr 205 . 2 CHOICE
6646, 65impbii 182 1 CHOICE
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   w3a 939  wal 1532  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  cvv 2727   cdif 3075   cin 3077   wss 3078  c0 3362  cpw 3530  csn 3544   cmpt 3974   wwe 4244  con0 4285  cfv 4592  cfn 6749  cr1 7318  crnk 7319  CHOICEwac 7626 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-fin 6753  df-sup 7078  df-r1 7320  df-rank 7321  df-card 7456  df-ac 7627
 Copyright terms: Public domain W3C validator