MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  demoivre Unicode version

Theorem demoivre 12354
Description: De Moivre's Formula. Shorter proof of demoivreALT 12355 using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)
Assertion
Ref Expression
demoivre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )

Proof of Theorem demoivre
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8676 . . . 4  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 8701 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 654 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 efexp 12255 . . 3  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ N
) )
53, 4sylan 459 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ N
) )
6 zcn 9908 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 mul12 8858 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  ( N  x.  A )
) )
81, 7mp3an2 1270 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  (
_i  x.  A )
)  =  ( _i  x.  ( N  x.  A ) ) )
98fveq2d 5381 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( N  x.  A ) ) ) )
10 mulcl 8701 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  A
)  e.  CC )
11 efival 12306 . . . . . 6  |-  ( ( N  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( N  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
139, 12eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
1413ancoms 441 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
156, 14sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
16 efival 12306 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
1716oveq1d 5725 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ N )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N
) )
1817adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ N )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N
) )
195, 15, 183eqtr3rd 2294 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622   ZZcz 9903   ^cexp 10982   expce 12217   sincsin 12219   cosccos 12220
This theorem is referenced by:  basellem3  20152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226
  Copyright terms: Public domain W3C validator