MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Unicode version

Theorem dec2dvds 12952
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec2dvds.2  |-  B  e. 
NN0
dec2dvds.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
dec2dvds.4  |-  D  =  ( C  +  1 )
Assertion
Ref Expression
dec2dvds  |-  -.  2  || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 9864 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
21nn0zi 9927 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
3 2z 9933 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
4 dvdsmul2 12425 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 5  x.  2 ) )
52, 3, 4mp2an 656 . . . . . . 7  |-  2  ||  ( 5  x.  2 )
6 5t2e10 9754 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
75, 6breqtri 3943 . . . . . 6  |-  2  ||  10
8 10nn0 9869 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN0
98nn0zi 9927 . . . . . . 7  |-  10  e.  ZZ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
1110nn0zi 9927 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
12 dvdsmultr1 12437 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  10  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  10  ->  2 
||  ( 10  x.  A ) ) )
133, 9, 11, 12mp3an 1282 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  10  ->  2  ||  ( 10  x.  A
) )
147, 13ax-mp 10 . . . . 5  |-  2  ||  ( 10  x.  A
)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
NN0
1615nn0zi 9927 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
17 dvdsmul2 12425 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( B  x.  2 ) )
1816, 3, 17mp2an 656 . . . . . 6  |-  2  ||  ( B  x.  2 )
19 dec2dvds.3 . . . . . 6  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19breqtri 3943 . . . . 5  |-  2  ||  C
218, 10nn0mulcli 9881 . . . . . . 7  |-  ( 10  x.  A )  e. 
NN0
2221nn0zi 9927 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  A )  e.  ZZ
23 2nn0 9861 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2415, 23nn0mulcli 9881 . . . . . . . 8  |-  ( B  x.  2 )  e. 
NN0
2519, 24eqeltrri 2324 . . . . . . 7  |-  C  e. 
NN0
2625nn0zi 9927 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
27 dvds2add 12434 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 10  x.  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A
)  /\  2  ||  C )  ->  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
) ) )
283, 22, 26, 27mp3an 1282 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A )  /\  2  ||  C )  -> 
2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C ) )
2914, 20, 28mp2an 656 . . . 4  |-  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
30 df-dec 10004 . . . 4  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
3129, 30breqtrri 3945 . . 3  |-  2  || ; A C
3210, 25deccl 10017 . . . . 5  |- ; A C  e.  NN0
3332nn0zi 9927 . . . 4  |- ; A C  e.  ZZ
34 2nn 9756 . . . 4  |-  2  e.  NN
35 1lt2 9765 . . . 4  |-  1  <  2
36 ndvdsp1 12482 . . . 4  |-  ( (; A C  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  || ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1 ) ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1282 . . 3  |-  ( 2 
|| ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1
) )
3831, 37ax-mp 10 . 2  |-  -.  2  ||  (; A C  +  1
)
39 dec2dvds.4 . . . . 5  |-  D  =  ( C  +  1 )
4039eqcomi 2257 . . . 4  |-  ( C  +  1 )  =  D
41 eqid 2253 . . . 4  |- ; A C  = ; A C
4210, 25, 40, 41decsuc 10026 . . 3  |-  (; A C  +  1 )  = ; A D
4342breq2i 3928 . 2  |-  ( 2 
||  (; A C  +  1 )  <->  2  || ; A D )
4438, 43mtbi 291 1  |-  -.  2  || ; A D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747   NNcn 9626   2c2 9675   5c5 9678   10c10 9683   NN0cn0 9844   ZZcz 9903  ;cdc 10003    || cdivides 12405
This theorem is referenced by:  11prm  12990  13prm  12991  17prm  12992  19prm  12993  23prm  12994  37prm  12996  43prm  12997  83prm  12998  139prm  12999  163prm  13000  317prm  13001  631prm  13002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator