Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Unicode version

Theorem dchrsum2 20339
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character is if is non-principal and otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g DChr
dchrsum.z ℤ/n
dchrsum.d
dchrsum.1
dchrsum.x
dchrsum2.u Unit
Assertion
Ref Expression
dchrsum2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrsum2
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2262 . 2
2 eqeq2 2262 . 2
3 fveq1 5376 . . . . . 6
4 dchrsum.g . . . . . . 7 DChr
5 dchrsum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 dchrsum.1 . . . . . . 7
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 Unit
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10
104, 9dchrrcl 20311 . . . . . . . . 9
118, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211adantr 453 . . . . . . 7
13 simpr 449 . . . . . . 7
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 20328 . . . . . 6
153, 14sylan9eqr 2307 . . . . 5
1615an32s 782 . . . 4
1716sumeq2dv 12053 . . 3
185, 7znunithash 16350 . . . . . . . . 9
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8
2011phicld 12714 . . . . . . . . 9
2120nnnn0d 9897 . . . . . . . 8
2219, 21eqeltrd 2327 . . . . . . 7
23 fvex 5391 . . . . . . . . 9 Unit
247, 23eqeltri 2323 . . . . . . . 8
25 hashclb 11230 . . . . . . . 8
2624, 25ax-mp 10 . . . . . . 7
2722, 26sylibr 205 . . . . . 6
28 ax-1cn 8675 . . . . . 6
29 fsumconst 12129 . . . . . 6
3027, 28, 29sylancl 646 . . . . 5
3119oveq1d 5725 . . . . 5
3220nncnd 9642 . . . . . 6
3332mulid1d 8732 . . . . 5
3430, 31, 333eqtrd 2289 . . . 4
3617, 35eqtrd 2285 . 2
374dchrabl 20325 . . . . . . . . . 10
3811, 37syl 17 . . . . . . . . 9
39 ablgrp 14929 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8
419, 6grpidcl 14345 . . . . . . . 8
4240, 41syl 17 . . . . . . 7
434, 5, 9, 7, 8, 42dchreq 20329 . . . . . 6
4443notbid 287 . . . . 5
45 rexnal 2518 . . . . 5
4644, 45syl6bbr 256 . . . 4
47 df-ne 2414 . . . . . 6
4811adantr 453 . . . . . . . . 9
49 simpr 449 . . . . . . . . 9
504, 5, 6, 7, 48, 49dchr1 20328 . . . . . . . 8
5150neeq2d 2426 . . . . . . 7
52 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453cbvsumv 12046 . . . . . . . . . . . . . 14
554, 5, 9dchrmhm 20312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp MndHom mulGrpfld
5655, 8sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp MndHom mulGrpfld
5756ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
58 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958, 7unitss 15277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359sseli 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp mulGrp
6665, 58mgpbas 15166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
67 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6865, 67mgpplusg 15164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
69 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpfld mulGrpfld
70 cnfldmul 16217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
7169, 70mgpplusg 15164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpfld
7266, 68, 71mhmlin 14257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
7357, 62, 64, 72syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . . . . . 14
7554, 74syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . 13
76 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
7727adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
7811nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
795zncrng 16330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 crngrng 15186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrps mulGrps
847, 83unitgrp 15284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
8685adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
87 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
887, 83unitgrpbas 15283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
8983, 68ressplusg 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
9024, 89ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
9187, 88, 90grplactf1o 14400 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
9286, 60, 91syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14
9387, 88grplactval 14398 . . . . . . . . . . . . . . 15
9460, 93sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14
954, 5, 9, 58, 8dchrf 20313 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9795, 63, 96syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14
9976, 77, 92, 94, 98fsumf1o 12073 . . . . . . . . . . . . 13
10095adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . 15
102100, 61, 101syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14
10377, 102, 98fsummulc2 12123 . . . . . . . . . . . . 13
10475, 99, 1033eqtr4rd 2296 . . . . . . . . . . . 12
10577, 98fsumcl 12083 . . . . . . . . . . . . 13
106105mulid2d 8733 . . . . . . . . . . . 12
107104, 106oveq12d 5728 . . . . . . . . . . 11
108105subidd 9025 . . . . . . . . . . 11
109107, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10
11028a1i 12 . . . . . . . . . . 11
111102, 110, 105subdird 9116 . . . . . . . . . 10
112 subcl 8931 . . . . . . . . . . . 12
113102, 28, 112sylancl 646 . . . . . . . . . . 11
114113mul01d 8891 . . . . . . . . . 10
115109, 111, 1143eqtr4d 2295 . . . . . . . . 9
116 0cn 8711 . . . . . . . . . . 11
117116a1i 12 . . . . . . . . . 10
118 simprr 736 . . . . . . . . . . 11
119 subeq0 8953 . . . . . . . . . . . . 13
120102, 28, 119sylancl 646 . . . . . . . . . . . 12
121120necon3bid 2447 . . . . . . . . . . 11
122118, 121mpbird 225 . . . . . . . . . 10
123105, 117, 113, 122mulcand 9281 . . . . . . . . 9
124115, 123mpbid 203 . . . . . . . 8
125124expr 601 . . . . . . 7
12651, 125sylbid 208 . . . . . 6
12747, 126syl5bir 211 . . . . 5
128127rexlimdva 2629 . . . 4
12946, 128sylbid 208 . . 3
130129imp 420 . 2
1311, 2, 36, 130ifbothda 3500 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727  cif 3470   cmpt 3974  wf 4588  wf1o 4591  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   cmin 8917  cn 9626  cn0 9844  chash 11215  csu 12035  cphi 12706  cbs 13022   ↾s cress 13023   cplusg 13082  cmulr 13083  c0g 13274  cgrp 14197   MndHom cmhm 14248  cabel 14925  mulGrpcmgp 15160  crg 15172  ccrg 15173  Unitcui 15256  ℂfldccnfld 16209  ℤ/nℤczn 16286  DChrcdchr 20303 This theorem is referenced by:  dchrsum  20340 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-phi 12708  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-imas 13285  df-divs 13286  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-dchr 20304
 Copyright terms: Public domain W3C validator